数学建模范文

12007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西南交通大学参赛队员(打印并签名)：1.陈会翠2.周远来3.乔文指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王璐日期：2007年9月24日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3中国人口增长预测摘要本文结合回归分析、灰色预测及差分理论等模型，预测分析了中国中短期与长期的人口变动。人口增长的主要制约因素是出生率、死亡率以及人口转移。文章首先对原始数据进行预处理，分别利用“插值法”和“散点法”对错误或缺失数据进行处理。由于中短期预测要求预测值可靠度高；而长期预测则着重分析模型中人口变化的内在机理，主要预测较长时间内的人口变化方向，因此要对人口预测分时间长短建模。对于中短期预测而言，本文结合中国人口发展的特点，通过老龄化、出生人口性别比、城市化及生育率等指标构造了中短期人口多元线性回归预测模型。在具体预测中采用两阶段方法，第一阶段利用实际数据估计出回归方程的参数，然后下一阶段利用灰色模型估计出出生人口性别比、老龄化等指标的预测值。主要结果是：老龄化指标、出生人口性别比、城镇化指标和生育率指标逐年递增；全国人口增长速度在2006年——2014年增长缓慢由0.475%增至0.48%，中短期全国总人口将于2010年和2020年分别达到133625万人和142409万人。在长期预测中，将人口变动模型分解为单区域和多区域的情形。在单区域中，由于只用考虑出生率和死亡率，故将二者简化为人口净增长率，建立了动态差分方程。而多区域中，在分别建立了城镇、乡村两个系统的差分方程后，加入人口转移率来刻画两系统间的动态演变过程，最终形成人口综合动态发展系统。主要结果是：单区域模型中，全国人口于2035年达到波峰145283万人；多区域模型中，全国人口增至2035年达到峰值147195万人后缓慢下降，同时城镇人口将超过农村人口。本文考虑到中国人口增长特点，将人口预测模型分为中短期预测和长期预测，并在数据量少的情况下采用灰色预测方法，在一定程度上减小了误差影响。在长期预测中考虑到人口的转移率，将长期模型分为了单区域和多区域情形，并将二者对比，使得长期预测结果更具合理性。最后，中短期和长期预测结果较好，对我国人口预测具有一定参考作用。关键词：多元线性回归灰色预测差分方程函数拟合4问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终制约我国经济的发展关键因素之一，因此人口增长的分析和预测是一个重要问题。近年来中国人口发展出现了新的特点，例如，老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，这些都影响中国人口的增长。附录一中的《国家人口发展战略研究报告》对此做了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究和大量的数据资料，附录二给出了从《中国人口统计年鉴》上收集的部分数据。问题要求结合中国的实际情况和人口增长的上述特点，参考附录二的相关数据（也可以搜索相关文献补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；并指出模型的优缺点和不足。基本假设1、将社会人口作为一个整体系统考虑，即不单独考虑具体的某一个社会成员的状态变化。2、在研究的预测样本期间内没有发生突发时件，如大规模人口迁移、自然灾难等。3、每个人之间的出生和死亡是相对独立的，即群体总数不会影响个人的生死状态。4、人口的增长过程是平稳连续的，没有突变情况出现。5、性别比、老龄化及城镇化等这些因素的影响是相互独立的。6、国家有关生育政策不会发生过大变动从而影响生育率。7、认为在稳定低生育水平和未来社会经济发展的条件下,生育率不会出现大的波动。8、国际净转移率为0，即全国的人口没有迁入迁出。符号说明1、Nt——表示t年的人口总数2、wt——表示t年的老龄化指数3、()kt——表示t年的新出生人口性别比4、dt——表示t年的乡村城镇化程度5、()pt——表示t年的人口增长的速度6、()ht——表示t年的育龄妇女的平均生育率7、()t——第t年的人口出生率；8、()t——第t年的人口死亡率5问题分析1、对人口增长模型的基本理解。人口是社会经济活动的主体，由于人口的发展变动趋势对社会经济发展的具有重要的影响，因此人口预测在社会实践中占有十分重要的地位。由于人口预测模型主要是用来刻画和反映某一国或某一地区人口随时间的波动变化趋势，它能够对人类自身发展繁衍的数量变化趋势作出预测，因此建立的模型要符合人类发展的自然特征。通过查阅相关文献资料，未来的人口变化是由生育、死亡和人口迁移三大基本要素所决定的，那么，人口预测模型的研制与设计的关键在于以这三大因素作为评价指标来构建数学模型。例如考虑A、B两地的人口变动情况，它们受生育、死亡和迁移因素影响会产生如下交互变化：（图1A、B两地的人口变动情况）正是考虑到上述因素对人口变化的影响，并通过对题目进行初步的描述性统计分析，我们可以得到诸如老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等初步信息。在充分理解题意后，我们首先定义了人口老龄化、出生人口性别比、生育率和人口城镇化等指标的含义来解释和刻画中国人口的变动情况，然后分别针对中短期和长期这两种不同特征，建立了初步的人口预测模型。多元回归分析能够通过研究人口数量的变化规律，预测人口的变化趋势，将中国人口增长的特点添加到模型中考虑。对于中短期预测我们构造多元线性回归方程，通过统计数据得到各指标的值。灰色系统预测适应于多个因素组成系统发展变化的预测。长期预测模型采用曲线拟合法，适合于对历史数据的规律进行研究，选择最能描述观察数据的规律的曲线作为预测模型。能够最好的反应资料的变化趋势，预测准确性高，故采用灰色预测得到指标的预测值。利用各个指标的预测值拟合人口增长率的函数即可得到增长率与各指标的函数关系。用该函数关系构造的曲线就可以进行短期的预测。对于长期预测，考虑到人口的转移，将人口变动模型分解为单区域和多区域的情形。对于单区域模型以国家为单位，此时不考虑区域间的迁入迁出，只考虑人口的出生与死亡之差；对于多区域模型，加入区域间的转移。两种模型均采用差分迭代的方法，逐步得到预测值。2、对抽样调查的理解附件3的数据是来自中国人口抽样调查。抽样调查是根据部分实际调查结果人口迁移AB出生出生死亡死亡6来推断总体标志总量的一种统计调查方法。根据国家统计局对相关概念的严格定义，它是一种在全国范围内分层、多阶段、整群概率比例的抽样方法。因此，按照抽样调查理论，我们认为这种抽样方式能充分反应中国人口结构和比例的变动趋势。抽样中所选取的男、女和城、乡和镇等人口比例和全国大体人口分布相同。3、中短期预测和长期预测的理解预测按时间长短可以分为中短期和长期预测，对于中短期预测某些后作用因素对人口的影响不用考虑，而在长期预测中必须要考虑到。模型的建立与求解1、模型数据的预处理由于首先要采用附件中的数据进行基本统计分析，但原始数据中存在数据缺失和错误的现象（附件也对这一现象作了明确说明）。因此，我们对原始数据进行如下的预处理：首先对于附件二中缺失和明显错误数据（如附件二中2003年各数据值）进行调整和处理，对于缺失数据，采用插值法进行补齐：缺失数据112iiiaaa；错误数据，对原始数据进行描述性统计，并通过散点图找出原始数据中的奇异点（outlier），并将其剔除。2、中国人口发展趋势的基本分析由于要建立人口的发展预测模型，而影响人口数量的因素很多，例如出生率、死亡率等，所以首先利用初始数据进行基本描述分析。（1）老龄化的基本分析定义：（老龄化指数）第t年年龄大于等于65岁的人数(65,)Nrt与年龄小于等于14岁的人数(14,)Nrt的比值：(65,)()14,NrtwtNrt当()wt较大时表明老年人的比例显著，社会人口增长必然缓慢、或零增长或减少；当其值较小时说明少年的比例显著，人口处于迅速增长阶段。所以将老龄化指数定义为老少比能真实的描述人口的增长类型。图2中老龄化在2000年以前基本不变，20002004年逐年递增，2004年增长速度突然加快。（2）出生性别比的基本分析定义出生人口性别比kt为新出生人口中男性的人数()BNt与女性的人数GNt的比值。()()()BGNtktNt7老龄化率00.10.20.30.40.50.60.719981999200020012002200320042005老龄化率图2（19982005各年份的老龄化指数）95100105110115120125130199419961998200020022004市男女出生比例（女100计）镇男女出生比例（女100计）乡男女出生比例（女100计）图3（19942005市、镇、乡男女出生比例）其比值kt越大，表明男女比例失衡现象加紧，我国人口性别结构趋于不合理。（3）人口城镇化的基本分析定义：乡村城镇化程度()dt为该类人口中城镇人口0()Nt与总人口()Nt的比值。0()()()NtdtNt其中90900000()(,),()(,)rrNtNrtNtNrt，0,Nrt表示年龄为r的城镇人口在时刻t的人口总数，,Nrt表示年龄为r的所有人口在时刻t的总数。8城镇化指数00.10.20.30.40.519951996199719981999200020012002200320042005城镇化指数图6（19952005年城镇化指数）图6中可见城镇化指数逐年递增。从图5看出，城镇妇女的生育率远小于农村妇女，乡村城镇化程度()dt越大，短时间内对人口的增长不很明显。但是长远看来，由于农村必将适应城镇，生育率会降低，从而使人口增长速度降低。（4）妇女生育率的基本分析定义：妇女生育率()ht为t时刻单位时间内平均每个育龄妇女的生育率。2121(,)(,)()(,)rirrirnrturthtnrt其中(,)nrt表示年龄为r的育龄妇女在t时刻的人数，(,)urt表示年龄为r的育龄妇女在t时刻的生育率。生育率0102030405060701995199619971998199920012002200320042005生育率图4（19952005年育龄妇女的平均生育率）从图4中可以看出，1999年以前育龄妇女生育率较高，且波动较大。2000年呈现略微下降趋势，02、03、04年趋于稳定，到05年又略微下降。生育率趋向于平稳下降将使人口增长的速度逐渐降低。9020406080100120140160180151821242730333639424548城市妇女生育率镇妇女生育率乡村妇女生育率图5（各年龄城、镇、乡育龄妇女的生育率）从图5分析可知，乡村育龄妇女的生育率远高于城镇，且乡村育龄妇女的生育高峰的年龄超前于城镇妇女，妇女的生育高峰期约在2327岁。由图可见农村人口城镇化可推迟其婚育的时间，降低生育率。从而降低人口增长的速度。（5）人口死亡率的基本分析定义：人口死亡率()t为第t年死亡人数与总人数的比值：900900(,)(,)()(,)rrNrtbrttNrt