反比例函数常见几何模型

学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-1-反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xky（0k）；②1kxy（0k）；③kxy2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小．（2）当k0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x．（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点A为反比例函数xky图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，则有2||kSOAB学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-2-例1：如图ABCRt的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3AOBS,（1）求m的值（2）求ABC的面积变式题1、如图所示，点1A,2A,3A在x轴上，且O1A=21AA=32AA,分别过1A,2A,3A作y轴平行线，与反比例函数y=x8(x0)的图像交于点1B,2B,3B，分别过点1B,2B,3B作x轴的平行线，分别与y轴交于点1C,2C,3C,连结321,,OBOBOB,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、如图，点A在双曲线1yx上，点B在双曲线3yx上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.模型二：如图：点A、B是双曲线)0(kxky任意不重合的两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，再过A、B两点分别作yAD轴于D点，xBF轴于F点，再连结DF两点，则有：ABDF||且BM＝ANDFABDFMNxyO学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-3-例2：如图，一次函数yaxb的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数kyx的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①DEFCEFSS；②AOB相似于FOE；③△DCE≌△CDF；④ACBD其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点,MN，与反比例函数kyx的图象相交于点,AB．过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为,CE；过点B分别作BFx轴，BDy轴，垂足分别为FD，，AC与BD交于点K，连接CD．（1）若点AB，在反比例函数kyx的图象的同一分支上，如图1，试证明：①AEDKCFBKSS四边形四边形；②ANBM．（2）若点AB，分别在反比例函数kyx的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．yxDCABOFE图1图1图2学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-4-模型三：如图，已知反比例函数kyx（k≠0，x0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则OPCPADCSS梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数2kyx的图象交于A(1,4)、B(4，1)两点，则△AOB的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1ykxb的图象与反比例函数2kyx的图象交于A（1,4）、B（3，m）两点，则△AOB的面积是______.例6：如图1，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于A、B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）如图2，过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于C、D两点（点C在第一象限且在点A的左边），当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标．学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-5-模型四：在矩形AOBC中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数(0)kyxx的图象与AC边交于点E，则CEaCFb.例7：两个反比例函数kyx和1yx在第一象限内的图象如图所示，点P在kyx的图象上，PC⊥x轴于点C，交1yx的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交1yx的图象于点B，当点P在kyx的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习：一、选择题1、已知m0，则函数mxy1与xmy2的图像如图，大致是（）xBFCEAOy学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-6-A.B.C.D2、如图，点A在双曲线xy6上，且OA=4,过点A作ACx轴，垂足为c，OA的垂直平分线交OC于B,则ABC的周长为（）A.72B.5C.74D.223、如图，双曲线xky（k0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A.xy1B.xy2C.xy3D.xy6题3题4题54、如图，A,B是函数xy2的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x轴，AC//y轴，ABC的面积记为S，则S（）A.S=2B.S=4C.2S4D.S45、如图所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=kx（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1k2B．1≤k≤3C．1≤k≤4D．1≤k4二、填空题学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-7-DBAyxOC1、如图，点A在双曲线1yx上，点B在双曲线3yx上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.2、如图，双曲线)0(2xxy经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是.3、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=kx，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是.（2）设P（t，0）,当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是.4、如图，已知双曲线(0)kykx经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6，4），则△AOC的面积为.5、双曲线1y、2y在第一象限的图像如图，14yx，过1y上的任意一点A，作x轴的平行线交2y于B，学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-8-交y轴于C，若1AOBS，则2y的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx（k0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k(xky＞经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝___．第5题图第6题图像与反比例函数y=2x的图6、如图，已知点A是一次函数y=x的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）A．2B．22C．2D．227、已知P为函数y=2x的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为（）ABCDEyxO学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!!-9-A．0个B．2个C．4个D．无数个