切线长定理和三角形的内切圆练习题

第3课时切线长定理和三角形的内切圆知识点1切线长定理1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是()图24－2－34A．∠1＝∠2B．PA＝PBC．AB⊥OPD．∠PAB＝2∠12．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是()图24－2－35A．4B．8C．43D．833．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()图24－2－36A．50°B．65°C．100°D．130°4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．图24－2－37知识点2三角形的内切圆5．2017·广州如图24－2－38，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的()图24－2－38A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点6．如图24－2－39，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为()图24－2－39A．130°B．120°C．100°D．90°7．如图24－2－40，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF，BD，CE的长．图24－2－408．如图24－2－41所示，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则()图24－2－41A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF9．2016·孝感《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．图24－2－4211．如图24－2－43，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．图24－2－4312．如图24－2－44，已知在△ABC中，∠A＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．图24－2－4413．如图24－2－45所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：(1)PA的长；(2)∠COD的度数．图24－2－4514．如图24－2－46所示，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积．图24－2－4615．如图24－2－47所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E，交AB于点F.(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．(2)若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．图24－2－47教师详解详析1．D2．B[解析]根据切线长定理，得PA＝PB.又∵∠APB＝60°，∴△ABP为等边三角形，∴AB＝PA＝8.故选B.3．A[解析]∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠AOB＝2∠C＝130°，∴∠P＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.故选A.4．1[解析]∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠APO＝∠BPO＝12∠APB，∠PAO＝90°.∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°.∵PO＝2，∴AO＝1.5．B6．A[解析]∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A＝90°＋40°＝130°.7．解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝xcm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.∵BC＝28cm，∴BD＋CD＝28cm，即(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，则18－x＝10，26－x＝18，∴AF的长为8cm，BD的长为10cm，CE的长为18cm.8．C[解析]如图，连接OA，OB，则OA，OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线，∴∠EAO＝∠OAB.∵EF∥AB，∴∠EOA＝∠OAB，∴∠EOA＝∠EAO，∴AE＝EO.同理可得：FO＝BF，∴EF＝AE＋BF.故选C.9．6[解析]根据勾股定理，得斜边长为82＋152＝17，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r＝8＋15－172＝3(步)，即直径为6步．10．133[解析]连接OE，OF，ON，OG，如图．设MN＝x，DN＝y，根据切线长定理可得GM＝MN＝x，ED＝DN＝y，AE＝AF＝5－y，FB＝BG＝y－1，CM＝6－(x＋y)．在Rt△DMC中，DM2＝CM2＋CD2，即(x＋y)2＝[6－(x＋y)]2＋42，解得x＋y＝133，即DM＝133.11．解：(1)证明：如图，连接OB.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，即OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)如图，连接OP.∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴OP垂直平分线段AB.又∵BC⊥AB，∴PO∥BC，∴∠AOP＝∠ACB＝60°，∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA.∵PA＝3，根据勾股定理，得AO＝1，∴⊙O的半径为1.12．解：(1)如图所示，则⊙P为所求作的圆．(2)∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝30°，∴BP＝2AP.设AP＝x，则BP＝2x.由勾股定理，得AB＝BP2－AP2＝（2x）2－x2＝3x.∵AB＝3，∴3x＝3，解得x＝3.∴AP＝3，∴S⊙P＝3π.13．解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线，∴CA＝CE.同理DE＝DB，PA＝PB，∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋BD＋PC＋CA＝PB＋PA＝2PA＝12，∴PA＝6，即PA的长为6.(2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°.∵CA，CE，DB，DE是⊙O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝12∠ACD.∠ODE＝∠ODB＝12∠CDB，∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°，∴∠COD＝180°－120°＝60°.14．解：设DE＝xcm，则CE＝(4－x)cm.∵CD，AE，AB均为⊙O的切线，∴EF＝CE＝(4－x)cm，AF＝AB＝4cm，∴AE＝AF＋EF＝(8－x)cm.在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3.∴S△ADE＝12AD·DE＝12×4×3＝6(cm2)．15．解：(1)∠APB＝2∠BAC.理由：∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝12∠APB.在等腰三角形APB中，由“三线合一”，得PF⊥AB，∴∠PFA＝∠PFB＝90°，∴∠APO＋∠PAB＝90°.∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥OA，∴∠BAC＋∠PAB＝90°，∴∠APO＝∠BAC，∴∠APB＝2∠BAC.(2)存在．当四边形PAOB是正方形时，PA＝AO＝OB＝PB＝4，PO⊥AB且PO＝AB，∴12PO·AB＝PA·PB，即12PO2＝PA2，12PO2＝16，∴PO＝42.这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于42.