概率论与数理统计课后答案-北邮版-(第四章)

1习题四1.设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)11111()(1)012;82842EX(2)2222211115()(1)012;82844EX(3)1(23)2()32342EXEX2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P5905100C0.583C1410905100CC0.340C2310905100CC0.070C3210905100CC0.007C4110905100CC0C5105100C0C故()0.58300.34010.07020.00730405EX0.501,520()[()]iiiDXxEXP222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.3.设随机变量X的分布律为X101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因1231PPP……①,又12331()(1)010.1EXPPPPP……②,222212313()(1)010.9EXPPPPP……由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.PPP4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则20(){|}{}NkPAPAXkPXk全概率公式001{}{}1().NNkkkPXkkPXkNNnEXNN5.设随机变量X的概率密度为f（x）=.,0,21,2,10,其他xxxx求E（X），D（X）.【解】12201()()dd(2)dEXxfxxxxxxx213320111.33xxx122232017()()dd(2)d6EXxfxxxxxxx故221()()[()].6DXEXEX6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ4X.【解】(1)[](231)2()3()1EUEXYEXEY25311144.(2)[][4][]4()EVEYZXEYZEX,()()4()YZEYEZEX因独立1184568.7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）.【解】(1)(32)3()2()33233.EXYEXEY(2)22(23)2()(3)412916192.DXYDXDY8.设随机变量（X，Y）的概率密度为3f（x，y）=.,0,0,10,其他xyxk试确定常数k，并求E（XY）.【解】因1001(,)dddd1,2xfxyxyxkyk故k=2100()(,)ddd2d0.25xEXYxyfxyxyxxyy.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=;,0,10,2其他xxfY（y）=(5)e,5,0,.yy其他求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值102()2d,3EXxxx5(5)500()ed5eded516.zyyzzEYyyzzz令由X与Y的独立性，得2()()()64.3EXYEXEY方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为(5)2e,01,5,(,)()()0,,yXYxxyfxyfxfy其他于是11(5)2(5)50052()2edd2ded64.3yyEXYxyxxyxxyy10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）=;0,0,0,22xxxefY（y）=.0,0,0,44yyye求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.【解】22-2000()()d2ed[e]edxxxXXxfxxxxxx201ed.2xx401()()d4edy.4yYEYyfyyy22242021()()d4ed.48yYEYyfyyyy从而(1)113()()().244EXYEXEY4(2)22115(23)2()3()23288EXYEXEY11.设随机变量X的概率密度为f（x）=.0,0,0,22xxcxxke求（1）系数c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】(1)由2220()ded12kxcfxxcxxk得22ck.(2)2220()()d()2edkxEXxfxxxkxx22220π2ed.2kxkxxk(3)222222201()()d()2e.kxEXxfxxxkxk故222221π4π()()[()].24DXEXEXkkk12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12PX39{1}0.204,1211PX329{2}0.041,121110PX3219{3}0.005.1211109PX于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.EX22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.EXDXEXEX13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）=.0,0,0,414xxxe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和200元5/41/411{100}{1}ede4xPYPXx1/4{200}{1}1e.PYPX故1/41/41/4()100e(200)(1e)300e20033.64EY(元).14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记niiSXnX12,1，S2=niiXXn12)(11.（1）验证)(XE=μ，)(XD=n2；（2）验证S2=)(11122niiXnXn；（3）验证E（S2）=σ2.【证】(1)1111111()()().nnniiiiiiEXEXEXEXnuunnnn22111111()()nnniiiiiiiDXDXDXXDXnnn之间相互独立2221.nnn(2)因222221111()(2)2nnnniiiiiiiiiXXXXXXXnXXX2222112nniiiiXnXXnXXnX故22211()1niiSXnXn.(3)因2(),()iiEXuDX,故2222()()().iiiEXDXEXu同理因2(),()EXuDXn,故222()EXun.从而6222221111()()[()()]11nniiiiEsEXnXEXnEXnn221222221[()()]11().1niiEXnEXnnununn15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1,计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()XYXYDXXYDY3210(1)8328(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=221,1,π0,.xy其他试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设22{(,)|1}Dxyxy.2211()(,)ddddπxyEXxfxyxyxxy2π1001=cosdd0.πrrr同理E(Y)=0.而Cov(,)[()][()](,)ddXYxExyEYfxyxy222π1200111ddsincosdd0ππxyxyxyrrr,由此得0XY,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|≤1时，22121112()d1.ππxXxfxyx当|y|≤1时，22121112()d1ππyYyfyxy.显然()()(,).XYfxfyfxy7故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为1011011/81/81/81/801/81/81/81/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X101P382838Y101P382838XY101P284828由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888PXPYPXY从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，SD=12，故（X，Y）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,xyDfxy其他.XY8()(,)ddDEXxfxyxy11001d2d3xxxy22()(,)ddDEXxfxyxy112001d2d6xxxy从而222111()()[()].6318DXEXEX同理11(),().318EYDY而11001()(,)dd2ddd2d.12xDDEXYxyfxyxyxyxyxxyy所以1111Cov(,)()()()123336XYEXYEXEY.从而1Cov(,)1362()()111818XYXYDXDY19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1ππsin(),0,0,2220.xyxy,其他求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.【解】π/2