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107第二部分线性代数一、行列式1.行列式的重要定理及公式定理对换改变n元排列的奇偶性．定理任一n元排列与排列123n可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个n元排列有相同的奇偶性．2．行列式的基本性质性质1行列式与它的转置行列式相等．性质2互换行列式的两行（列），行列式变号．推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式．推论行列式中某一（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，如第i列的元素都是两数之和：'1111211'2212222'12()()()niiniinnnnniniaaaaaaaaaaDaaaaa++=+，则D等于下列两个行列式之和：'111211111121'212222221222'1212inniinninnninnnnnnniaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa=+．性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．注（1）设,AB均匀为n阶矩阵，一般地，||||||||ABBAAB+=+≠+．（2）设,AB均匀为n阶矩阵，一般地，ABBA≠，但是||||||||||||ABBAABBA==⋅=⋅．（3）设A为n阶矩阵，则||||nkAkA=，切记||||kAkA≠．3．行列式的重要公式与结论（1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即10811121112222122111212nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa==．（2）1111,11(1)2,12212,1212,111,11(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa−−−−−−==−．（3）设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则||||AAOABOBB∗==∗，(1)||||mnAOAABBOB∗==−∗．（4）设A是n阶方阵，TA为A的转置矩阵，用||A，||TA表示对应n阶方阵的行列式，则有||||TAA=．（5）设方阵A可逆，则11||||AA−=．（6）||||nkAkA=（A为n阶方阵）．（7）设,AB为同阶方阵，则||||||ABAB=，注意||||||ABAB+≠+．（8）设A∗为A的伴随矩阵，ijA为ija的代数余子式，112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA∗⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则1||||nAA∗−=．（9）设,AB为n阶方阵，则||||||||ABBAAB==，但一般地ABBA≠．109（10）范德蒙行列式1222212111112111()nnijnnijnnnnxxxDxxxxxxxx≥≥−−−==−∏，其中记号“Π”表示全体同类因子的乘积．二、矩阵1．矩阵的运算规律（1）矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律：（ⅰ）交换律ABBA+=+．（ⅱ）结合律()()ABCABC++=++，()()klAklA=．（ⅲ）分配律()kABkAkB+=+，()klAkAlA+=+．以上,,ABC均为mn×矩阵；,kl为常数．（2）矩阵乘法满足下列运算规律：（ⅰ）结合律()()ABCABC=．（ⅱ）分配律()ABCACBC+=+，()CABCACB+=+．（ⅲ）数与乘积的结合律()()()kABAkBkAB==．（3）方阵幂满足下列运算规律：klklAAA+=，()klklAA=，,km为正整数．（4）矩阵的转置满足下列运算规律：（ⅰ）()AAΤΤ=；（ⅱ）()ABABΤΤΤ+=+；（ⅲ）()AAλλΤΤ=；（ⅳ）()ABBAΤΤΤ=（5）共轭矩阵满足下述运算规律：（ⅰ）ABAB+=+；（ⅱ）AAλλ=；（ⅲ）ABAB=．以上,AB为复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的．注（1）不同型的零矩阵是没的．（2）一般情况下ABBA≠；ABO=AO=或BO=；2AO=AO=；110ABAC=BC=．但是,AB为方阵，则有||||||||ABBAAB==；||0||0ABA=⇔=或||0B=．2．逆矩阵的性质（1）若矩阵A是可逆的，则1A−是唯一的．（2）若A可逆，则1A−亦可逆，且11()AA−−=．（3）若A可逆，数0λ≠，则Aλ可逆，且111()AAλλ−−=．（4）若,AB为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且111()ABBA−−−=．（5）若A可逆，则AΤ亦可逆，且11()()AAΤ−−Τ=．注A可逆的充分必要条件是||0A≠，即可逆矩阵就是非奇异矩阵．3.重要公式与结论我们给出有关矩阵秩的重要公式与结论如下：（1）()()rArAΤ=，1()()rArA−=；（2）如果AB∼，那么()()rArB=；（3）()min((),(),)rABrArB≤，()()()rABrArBn≥+−（n为A的列数）；（4）若AO≠，则()1rA≥；（5）若A可逆，则()()rABrB=，若B可逆，则()()rABrA=；（6）若,AB为两个阶数相同的矩阵，则()()()rABrArB±≤+；（7）,(),()1,()1,0,()1nrAnrArAnrAn∗=⎧⎪==−⎨⎪−⎩如果如果如果（n为n阶方阵）．三、向量1．关于线性相关性的重要定理定理1向量组12,,,maaa线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余的1m−个向量线性表出。定理2若向量组12,,,raaa线性无关；而向量组12,,,raaa，β线性相关，则β可111由向量组12,,,raaa线性表出，且表示法唯一。定理3若向量组12,,,raaa线性相关，则向量组12,,,raaa，1rα+也线性相关。定理4若向量组12,,,raaa线性无关，则无论如何扩充向量组各向量的分量，所得向量组仍线性无关。定理5向量组的个数大于向量组的维数，则此向量组线性相关。定理6n个n维向量组线性无关⇔由向量组所构成的矩阵对应的行列式0≠。2．等价向量组的重要结论注意：研究两个向量组是否等价，通常是通过研究它们的极大无关组是否等价入手。定理7向量组的任意两个极大无关组等价。定理8两个等价的线性无关组所含向量的个数相等。定理9如果向量组12,,,sααα线性无关，且它可由向量组12,,,tβββ线性表示，则st≤。3.向量组与矩阵的秩的重要定理与公式定理设12,,,tβββ可由12,,,sααα线性表出。若12(,,,),srrααα=12(,rββ，,)tβp=，则pr≤。推论如果向量组（I），（II）是两个等价的向量组，则()()rIrII=，即两个等价的向量组有相同的秩。定理设A为矩阵。如果()rAr=，则A中有r个线性无关的列向量，而其他列向量都是这r个线性无关列向量的线性组合，也就是()rAA=的列秩。一般地，()rAA=的行秩A=的列秩。4．施密特正交化方法曲线性无关向量组12,,,sααα，构造正交向量组12,,,sβββ的施密特正交化方法为21112211111111111(),,(,)()()(3,4,,)(,)(,)iiiiiiiiisαββαβαβββαβαββαββββββ−−−−==−=−−−=且这样构造的向量组12,,,sβββ与原向量组12,,,sααα等价．112四、线性方程组1.线性方程组的重要定理定理如果12,ξξ是非齐次线性方程组Axb=的解，则12ξξ−是齐次线性方程组0Ax=的解。定理如果ξ是线性方程组Axb=的解，η是非齐次线性方程组0Ax=的解，则kξη+是线性方程组Axb=的解。定理线性方程组的初等变换把线性方程组变成它的同解方程组。2．克莱姆法则给定n个方程的方程组11112211211222221122,,,nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果系数行列式0D≠，则方程组有唯一解：1212,,,nnDDDxxxDDD===，其中111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaa−+−+−+=，即jD是把D中第j列jx的系数换成常数项所得到的行列式。3．初等行变换解线性方程组给定n个未知数m个方程组（4.1），对它的增广矩阵A施行初等行变换，得到阶梯形矩阵1112111122221000000000rnrnrrrnrrccccdcccdccdAd+⎤⎡⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎯⎯⎯⎯→⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦初等行变换如果10(()())rdrAA+≠≠或，方程组（4.1）无解；如果10(()())rdrArA+==或，方程组113（4.1）有解，而且当rn=时有唯一解，当rn时有无穷多解。4．齐次线性方程组0Ax=解的判别别齐次线性方程组一定有解（至少有零解）。定理齐次线性方程组0Ax=有非零解()rAnA⇔⇔的列向量线性相关。推论1当mn（即方程的个数未知数的个数）时，齐次线性方程组0Ax=必有非零解。推论2当mn=时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是111212122212||0nnmmmnaaaaaaAaaa==。定理设齐次线性方程组0Ax=的系数矩阵的秩()rArn=，则其基础解系由nr−个解向量构成。5．非齐次线性方程组Axb=解的判别定理设非齐次线性方程组Axb=，其系数矩阵的秩()(0)rArr=，增广矩阵的秩()()rArAb=，则当()()rArAn==时，方程组有唯一解；当()()rArArn==时，方程组有无穷多解；当()1()rArA+=时，方程组无解。注定理中1212(),(,,,),(,,,)0TTijmnnmAaxxxxbbbb×===≠。6．非齐次组Axb=与齐次组0Ax=的解的关系Axb=有解,()()nAxbrArArnAxb⇔=⎧⇔===⎨⇔=⎩有唯一解有无穷多解;Axb=有唯一解0Ax⇒=只有零解()rAn⇔=；Axb=有无穷多解0Ax⇒=只有非零解()rAn⇔。注非齐次方程组Axb=有唯一解（无穷多解），则0Ax=只有零解（有非零解）。但反过来不成立。即0Ax=有非零解（仅有零解），不能推导出Axb=有无穷多解（唯一解），甚至Axb=可能无解，因为由()()rAnn=，不一定能得到()()rArA=。7．线性方程组解的性质（1）如果12,ηη是齐次线性方程组0Ax=的解，则12ηη+也是它的解。114（2）如果η是齐次线性方程组0Ax=的解，则对任意常数,kkη也是它的解。注设12,,,sγγγ是Axb=的解，12,,,skkk为常数，且121skkk+++=，则1122,1sskkkγγγ++=也是Axb=的解。五、矩阵的特征和特征向量1、矩阵的特征和特征向量的重要定理与结论定理如果12,xx都是矩阵A的属于特征值0λ的特征向量，则当11220kxkx+≠时，1122kxkx+仍是A的属于特征值0λ的特征向量。注特征值0λ所对应的特征向量是不唯一的，但A的特征向量只属于A的一个特征值。定理如果12,,,tλλλ是矩阵A的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,,,,txxx则12,,,,txxx线性无关。定理设矩阵()ijnnAa×=的n个特征值为12,,,nλλλ，则12112212,nnnnaaaAλλλλλλ+++=+++=。定理若iλ是实对称矩阵A的ir重特征值，则A对应特征值iλ恰有ir个线性无关的特征向量，或r()iiAEnrλ−=−。定理实对称矩阵A的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交。结论设λ是方阵A的特征值，则矩阵21*,,,,,mkAAaAbEAAA−+分别有特征值为：21,,,,,mAkabλλλλλλ+；设x是A对应λ的特征向量，则x也是21*,,,,,mkAAaAbEAAA−+对应特征值21,,,,,mAkabλλλλλλ+的特征向量。注（1）A与TA有相同的特征值，但特征向量不一定相同；（2）mA的特征向量不一定是A的特征向量。2．相似矩阵定义设A和B都是n阶矩阵，若有可