材料力学(I)第六章

材料力学Ⅰ电子教案1第六章简单的超静定问题§6-1超静定问题及其解法§6-2拉压超静定问题§6-3扭转超静定问题§6-4简单超静定梁材料力学Ⅰ电子教案2§6-1超静定问题及其解法Ⅰ.关于超静定问题的概述第六章简单的超静定问题(a)(b)材料力学Ⅰ电子教案3图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程──一次超静定问题。第六章简单的超静定问题(a)(b)材料力学Ⅰ电子教案4图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx,FA,FB,FC，但只有三个独立的静力平衡方程──一次超静定问题。超静定问题(staticallyindeterminateproblem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。第六章简单的超静定问题FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxABqFBFA材料力学Ⅰ电子教案5Ⅱ.解超静定问题的基本思路例1超静定结构(staticallyindeterminatestructure)解除“多余”约束基本静定系(primarystaticallydeterminatesystem)(例如杆3与接点A的连接)第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案6在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件相当系统(equivalentsystem)12BCAF'AFN3'AΔAΔFN3ADA第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案7331N32111N3coscos2AElFAElFF于是可求出多余未知力FN3。由位移相容条件，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：AAΔΔ第六章简单的超静定问题12BCAF'AFN3'AΔAΔFN3ADA材料力学Ⅰ电子教案8基本静定系ABl补充方程为048384534EIlFEIqlC于是可求出多余未知力FC。第六章简单的超静定问题位移相容条件ΔCq+ΔCFC=0相当系统ABl/2qlFC例2超静定梁yxl/2l/2CABq材料力学Ⅰ电子教案9Ⅲ.注意事项(1)超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。(2)求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。(3)无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案10(4)“多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。第六章简单的超静定问题xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq材料力学Ⅰ电子教案11§6-2拉压超静定问题Ⅰ.拉压超静定基本问题例题6-1求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。解:1.有两个未知约束力FA,FB(见图a)，但只有一个独立的平衡方程FA+FB-F=0故为一次超静定问题。第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案122.取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条件ΔBF+ΔBB=0，参见图c，d。第六章简单的超静定问题3.补充方程为0EAlFEAFaBlFaFB由此求得所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。材料力学Ⅰ电子教案13得FA=F-Fa/l=Fb/l。5.利用相当系统(如图)求得lEAFabEAalFbEAaFΔAC4.由平衡方程FA+FB-F=0第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案14例题设1、2、3三杆用绞链连结，如图所示,l1=l2=l，A1=A2=A,E1=E2=E,3杆的长度l3,横截面积A3,弹性模量E3.试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.解：（1）列平衡方程这是一次超静定问题﹗CABDF123材料力学Ⅰ电子教案15（2）变形几何方程由于问题在几何，物理及受力方面都是对称，所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起﹗xyFAFN2FN3FN100321FFFFFyNNNcoscos210NNFFFx材料力学Ⅰ电子教案163lΔ变形几何方程为A123CABDF123CABD123A'A'1lΔcosΔΔ31ll1111EAlFlNΔ3333AElFlcosΔN(3)补充方程23331cosNNAEEAFF物理方程为材料力学Ⅰ电子教案17(4)联立平衡方程与补充方程求解2332121coscosNNAEAEFFF21NNFF0321FFFFNNNcoscos23331cosNNAEEAFF233321cosNAEEAFF材料力学Ⅰ电子教案18例题9图示平行杆系1、2、3悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载F。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E.试求1、2、3三杆的轴力FN1，FN2，FN3.ABCF3aal21材料力学Ⅰ电子教案19例题求图a所示结构中杆1,2,3的内力FN1,FN2,FN3。杆AB为刚性杆，杆1,2,3的拉压刚度均为EA。第六章简单的超静定问题aaaACDB132EFF(a)a材料力学Ⅰ电子教案20解：1.共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次超静定问题。2.取杆1与结点C处的连接以及杆2与结点D处的连接为多余约束，得基本静定系如图c。CD3(c)第六章简单的超静定问题FFAyFAxFN1FN3FN2(b)材料力学Ⅰ电子教案213.相当系统应满足的变形相容条件如图d所示为1213Δ2Δ2llll，FN2Dl2FFCAl1l3l2FBFN2DFN13(d)第六章简单的超静定问题FN1Cl1E4.根据相容条件，利用物理方程得补充方程：EAaFEAaFEAaFEAaFN12N1NN32212，即FN1=2FN3,FN2=2FN1=4FN3材料力学Ⅰ电子教案225.将上述二个补充方程与由平衡条件ΣMA=0所得平衡方程0)3()2(212N3N1NaFaFaFaF联立求解得2101212421012622101233N2N3N1NN3FFFFFFFF，，第六章简单的超静定问题FN1=2FN3,FN2=2FN1=4FN3FFAyFAxFN1FN3FN2(b)材料力学Ⅰ电子教案23Ⅱ.装配应力和温度应力(1)装配应力超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力──装配内力，以及相应的装配应力。第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案24图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点A'处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A'处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。第六章简单的超静定问题(a)(b)材料力学Ⅰ电子教案25求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为eAAAAeAElFAElF21113N333N3cos221113333Ncos2AElAEleF第六章简单的超静定问题(拉力）(a)材料力学Ⅰ电子教案26至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为压力21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案27例题6-3两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1,2(图a)，其长度l=200mm，直径d=10mm。试求将长度为200.11mm，亦即e=0.11mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20mm×30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案28解：1.如图d所示有三个未知的装配内力FN1,FN2,FN3，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：所以这仍然是一次超静定问题。0201NN3FFFx，第六章简单的超静定问题(d)材料力学Ⅰ电子教案292.变形相容条件(图c)为这里的l3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。ell313.利用物理关系得补充方程：eAElFEAlF33N3N1第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案304.将补充方程与平衡方程联立求解得：所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。5.各杆横截面上的装配应力如下：EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1，MPa51.19MPa53.743N331N21AFAF第六章简单的超静定问题（拉应力）（压应力）材料力学Ⅰ电子教案31(2)温度应力也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案32例题6-4试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a)当温度升高t时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。第六章简单的超静定问题(a)材料力学Ⅰ电子教案33解:1.由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一次超静定问题。2.以刚性支撑B为“多余”约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形lt和“多余”未知力FN产生的缩短变形lF分别如图所示。第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案343.变形相容条件为4.补充方程为5.由此得多余未知力0Ftll0NEAlFltltEAFlN6.杆的横截面上的温度应力为tEAFlN材料力学Ⅰ电子教案35若该杆为钢杆而l=1.2×10-5/(˚C)，E=210GPa，则当温度升高t=40˚时有MPa100Pa10100C40GPa10210C/102.1695tEl第六章简单的超静定问题（压应力）tEAFlN材料力学Ⅰ电子教案36§6-3扭转超静定问题例题6-5两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。第六章简单的超静定问题(a)材料力学Ⅰ电子教案37解:1.有二个未知约束力偶矩MA,MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。00eBAxMMMM，第六章简单的超静定问题(a)MAMB材料力学Ⅰ电子教案382.以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。BBMBMe第六章简单的超静定问题材料力学Ⅰ电子教案39另一约束力偶