顾沛漫谈数学文化

顾沛:漫谈数学文化“十三年的数学学习后，那些数学公式、定理、解题方法也许都会被忘记，但是形成的数学素养却终身受用。”由于数学教学方式和内容的局限，尽管一个人经历至少长达13年的数学学习，但对数学的精髓却毫无概念，在宏观上把握数学的能力较差，也就是所谓的数学素养较差。甚至误以为学数学就是为了解题，考试，而不了解数学在实际生产生活中的应用。谈到数学素养的问题时，顾沛讲到自己已经成功地在南开大学开设了数学文化课程，他说，之所以开设这门课程正是为了克服数学教学中忽视数学文化的这一弊病。那什么是数学素养呢？通俗地说，数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。“现实生活中，经常会用到一些数学的思维去解决问题。这种解决问题的方法就是数学素养的一种体现。”微软公司招聘员工的一道考题。“一个屋里有50个人，每人带一条狗，其中部分是病狗。主人只能通过对其它狗的观察得知自己的狗是否是病狗，并在发现当天用枪打死自己的狗，第一天没有听到枪声，第二天没有听到枪声……直至第十天听到一片枪声，问屋里有多少病狗。”可是这道看似脑筋急转弯的题目其实是一道巧妙的数学应用题。正确的解答需要结合运用反证法和数学归纳法，答案的揭晓使每个人都能感觉到数学的奥妙。下面十个具体形象的例子从不同的角度体现了数学文化和素养的魅力。例一：芝诺悖论与无限——从初等数学到高等数学很多人都听过芝诺悖论中的“阿基里斯永远追不上乌龟”的问题，顾沛在分析这个问题时，指出这一悖论的症结在于混淆了有限与无限的问题。芝诺认为阿基里斯在追赶乌龟的过程中，首先要到达乌龟原先的位置A，而这时乌龟已经到了位置B，阿基里斯继续追赶则要先到达B，这时乌龟又到达了位置C，以此类推，阿基里斯似乎永远也追不上乌龟了，可是芝诺却忽视了一个问题，无限长度或时间的和，可能是有限的。另一个与无限有关的是“有无限个房间的旅馆”问题，一个有无限个房间的旅馆客满后来了一个客人，应该怎样安排他？答案很简单，让原先住在1号房的客人搬进2号房，原先住在2号房的客人住进3号房，以此类推，让原先住在K号房的客人住进K+1号房，这样就空出了1号房给新来的客人。同理，来了一个团的无穷个旅客，一万个团的无穷个旅客甚至无穷个团的无穷个旅客也应对自如了。在场的许多同学都有所领悟，给出了精彩的解答。奇妙的数学，从有限到无限，不可能的也成了可能。例二：海岸线的长度问题——分形与混沌首先是分形问题。B．B．Mandelbrot发现英国的海岸线永远也无法测量，为什么呢？柯赫曲线的几何现象说明了这个问题。（组图略）这样的一组图具有自相似性，在测量海岸线时，如果尺子的长度精确度不同，那么海岸线的形状就可以无限分形，当然无法准确测量了。正是这样一个问题，发展成了数学界一个非常重要的分支。混沌问题。这个问题是E．N．Lorenz在做天气预报中发现的。大家都知道的“蝴蝶效应”，也是一种混沌现象，由此可见，数学问题无处不在。例三：历史上的数学危机——数学的思想大解放牛顿为了计算瞬时速度，创立了微积分学，可是贝克莱却对牛顿发难：无穷小作为一个量，究竟是否为0？在算式s/t=gt+1/2g(t)中，贝克莱质疑道：如果无穷小量等于0，则等号左端无意义，若不等于0，则右边的后一项不能随意取掉，因此，反驳贝克莱成了一个棘手的问题。直到数百年后，柯西的极限理论的出现，“ξ-σ”语言的出现。才消除了这一危机。由此可见，在数学中，知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的。例四：周髀算经与勾股定理——中国和世界数学的骄傲很多人都知道北京2008年举行奥运会，但2002年在北京举行的“国际数学家大会”，也是我国许多世界顶尖数学大师和政府争取来的荣誉。这次大会的会徽就选择了周髀算经中勾股定理证明的图形。美国宇航局的一次寻找外星人的行动中，也带去了一个证明勾股图形的黄金制品，可见勾股定理的证明是世界的骄傲。至今勾股定理的证明已经多达380种了，而很多人，仍在探寻新的方法。例五：蒲丰投针问题——什么是创新1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于平行线距离的一半的针，让他们随意投放。事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，共投针2212枚，与直线相交的704枚，两者相处，正好等于圆周率。求圆周率是一个几何问题，而蒲丰却用概率的方法解决了，完全不相同的两个领域被神奇地联系起来，这就是某种意义上的创新。例六：变换的方法——化繁为简上山问题一人早6:00从山脚A上山,晚18：00到山顶B;第二天,早6:00从B下山,晚18：00到A。问是否有一个时刻0t，这二天都在这一时刻到达同一点？数学表述：设]12,0[),(1ttS,表示上山运动函数;]12,0[),(2ttS,表示下山运动函数,而S表示A到B的距离。问是否存在一时刻0t,使)()(0201tSStS。设]12,0[),(1ttS,表示上山运动函数;]12,0[),(2ttS,表示下山运动函数,而S表示A到B的距离。则SSSii)12(,0)0(。令StStStS)()()(21则0)12(,)0(SSSS。于是，由连AB图1-3续函数的介值定理，存在)12,0(0t使).()(0)(02010tSStStS即例七：类比的方法——举一反三4个平面最多把空间分成多少个部分？答案是15个，但绝对不是由“4*4-1”得出的。方法是这样的，四个平面的情况中最复杂的是这四个平面组成了一个四面体，然后将四面体平展成一个平面，于是主要问题就集中在四面体的棱把这个平面分成几份了。将陌生的复杂的问题用熟悉的简单的问题来类比，同样也是生活中的数学应用。例八：哥尼斯堡七桥问题——抽象的观点如何将哥尼斯堡的一条小河上的7座桥一次性走完呢？居民在多次尝试无果后，来请教大数学家欧拉。于是聪明的欧拉将居民的问题抽象为一笔画问题，在他的图纸上，线条的交点被分为奇界点和偶界点，并得出了一笔画问题能成功的充要条件：奇界点≦2个。这就是抽象的观点的精髓：抓住问题本质，突出问题本质。例九：“变中有不变”的观点——数学的生命力数学大师陈省身先生，曾指出“三角形内角和为108度”这个命题不好，而认为“n边形的外角和为360度”是个好命题，因为它的变中有不变。例十：数学中的审美的思想——数学的艺术数学中有很多种类的美，简洁美、对称美、统一美、奇异美……顾教授给同学们展示了埃尔兰根纲领，欧拉公式，黄金比，斐波那契数列等许多让人匪夷所思的数学现象，着实让在座的每一位倾倒于数学的无限魅力。