2001年全国Ⅱ高考数学试题(理)

第1页(共9页)错误!未指定书签。2001年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2正棱台、圆台的侧面积公式1()2Sccl台侧其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长．球的体积公式：343Vr球，其中R表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若sincos0，则在A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限2．过点(1,1)A，(1,1)B且圆心在直线20xy上的圆的标准方程是A．22(3)(1)4xyB．22(3)(1)4xyC．22(1)(1)4xyD．22(1)(1)4xy3．设na是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A．1B．2C．4D．64．若定义在区间(1,0)内的函数2()log(1)afxx满足()0fx，则a的取值范围是A．10,2B．10,2C．1,2D．0,5．极坐标方程2sin()4的图形是A．B．C．D．Ox1Ox1Ox1Ox1第2页(共9页)错误!未指定书签。6．函数cos1(0)yxx的反函数是A．arccos(1)(02)yxxB．arccos(1)(02)yxxC．arccos(1)(02)yxxD．arccos(1)(02)yxx7．若椭圆经过原点，且焦点为1(1,0)F，2(3,0)F，则其离心率为A．34B．23C．12D．148．若04，sincosa，sincosb，则A．abB．abC．1abD．2ab9．在正三棱柱111ABCABC中，若12ABBB，则AB与1CB所成的角的大小为A．60°B．90°C．105°D．75°10．设()fx，()gx都是单调函数，有如下四个命题：①若()fx单调递增，()gx单调递增，则()()fxgx单调递增；②若()fx单调递增，()gx单调递减，则()()fxgx单调递增；③若()fx单调递减，()gx单调递增，则()()fxgx单调递减；④若()fx单调递减，()gx单调递减，则()()fxgx单调递减．其中，正确的命题是A．①③B．①④C．②③D．②④11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P，2P，3P．若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则A．321PPPB．321PPPC．321PPPD．321PPP①②③第3页(共9页)错误!未指定书签。12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为A．26B．24C．20D．19第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是．14．双曲线221916xy的两个焦点为1F，2F，点P在双曲线上．若12PFPF，则P点到x的距离为．15．设数列na是公比为q的等比数列，nS是它的前n项和．若nS是等差数列，则q＝．16．圆周上有n个等分点(1)n，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，90ABC，SA面ABCD，1SAABBC，12AD．（1）求四棱锥SABCD的体积；（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．18．（本小题满分12分）已知复数31(1)zii．（1）求1argz及1||z；BA347686121265SADCB第4页(共9页)错误!未指定书签。（2）当复数z满足||1z，求1||zz的最大值．19．（本小题满分12分）设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O．20．（本小题满分12分）已知i，m，n是正整数，且1imn．（1）证明：iiiimnnPmP；（2）证明：(1)(1)nmmn．21．（本小题满分12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加14．（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为na万元，旅游业总收入为nb万元．写出na，nb的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22．（本小题满分12分）设()fx是定义在R上的偶函数，其图像关于直线1x对称，对任意121,0,2xx，都有1212()()()fxxfxfx．（1）求1()2f及1()4f；（2）证明()fx是周期函数；（3）记1(2)2nafnn，求lim(ln)nna．第5页(共9页)错误!未指定书签。数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力题号１23456789101112答案二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题17．数学试题(理工农医类)参考答案及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．(1)B(2)C(3)B(4)A(5)C(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C(11)D(12)D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分．(13)2π(14)516(15)1(16)2n(n－1)三．解答题．(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：(I)直角梯形ABCD的面积是M底面=21(BC+AD)AB＝43125.01……2分∴四棱推S-ABCD的体积是113113344VSAM底面……4分(II)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱……6分∵AD∥BC，BC=2AD∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB∵SA⊥面ABCD，得面ASB⊥面ESC，EB是交线，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分2222,1,2BCSBSAABBCBCSBtgBSCSB第6页(共9页)错误!未指定书签。即所求二面角的正切值为22．……12分(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．231111111222121:()||(1)223777,22(cossin),,||22444()cossin,(cos2)(sin2)||(cos2)(sin2)942sin()94sin()1,||9424IzzziiizziarczzIIzizzizzzz解分将化成三角形式得设则分当时取最大值从而得1||22112zz到的最大值为分(19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y2=2pc(p0)的焦点为F(0,2p)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+2p代人抛物线方程得y2-2pcmy-p2=0若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2因为BC∥x轴，且点C在准线x=-2p上，所以点C的坐标为(-2p，y2)，故直线CO的斜率为111222xyyppyk即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则AD∥FE∥BC．……2分连结AC，与EF相交手点N，则||||||||||,||||||||||ENCNBFNFAFADACABBCAB根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|……8分|,|||||||||||||||NFABBCAFABBFADEN即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．……12分(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．第7页(共9页)错误!未指定书签。():1,(1),1111,,4,1,2,,1,,,6imiimniiiiiiiinmnmiiIimpmmippmmminnnimmmmnnnnppnkmkmnkimpnpnmnm证明对于有同理分由于对整数有所以即分00220000110():(1),(1),()(1),,10!!(1)..,,0().nmniimiinmiiiiiiiiiimnnmmnmmiiiiiiiinmnmiiiinmnmnmiiniIImmCnnCPPImPnPimnCCiimCnCimnmCnCmCnCmCnCmnmCminmC证明由二项式定理有由知而分所以因此又0.(1)(1).12miinmminCmn即分(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解．(I)第1年投入为800万元．第2年投入为800×(1-51)万元，……，第n年投入为800×(1-51)n-1万元.所以，n年的总收入为1111114800800(1)800(1)800(1)4000[1()];35555nnknnka分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)万元，……，第n年旅游业收人为400×(1+41)n-1万元．所以，n年内的旅游业总收入为1111114400400(1)400(1)400(1)1600[()1];64445nnknnkb分(11)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此第8页(共9页)错误!未指定书签。2444401600[()1]4000[1()]05()2()70955554242(),5720,1()(),55555nnnnnnnnbaxxxxxn即化简得分设代入上式解此不等式得舍去即由此得答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入…12分(22)本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．1212122211241():,[0,],()()(),()()()0,[0,1].22211111111111(1)(,)()()[()],()(,)()()[()],32222224444411(1)0(),().624xxIxxfxxfxfxfxffxfffffffffffafafa