COMSOL3.5教程案例——使用PDE模式建立数学模型

基于公式建模的PDE模式：案例—基于公式建模案例—基于公式建模本节的模型求解在一个单元圆盘上的Poisson方程，首先设定常数源项，然后在圆心设定一个点源。两种情况下均已知解析解，可用来判定数值结果的精确性。这些模型作为在COMSOLMultiphysics中使用PDE的基于公式建模的介绍性案例，在COMSOLMultiphysics模型库的“基于公式建模”的章节中可以找到更多的相关案例。单元圆盘上的Poisson方程一个众所周知的经典PDE是Poisson方程在单元圆盘Ω上，f=1，其解析解为因此可以将COMSOLMultiphysics的数值解与解析解进行对比。结果下面的图显示了误差(由COMSOLMultiphysics得到的数值解和解析解之间的差)：页码，1/8(W)w2011/5/26mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C...有限元解在求解域的中心很接近解析解，这是很自然的，因为解析解和单元形函数都是二阶多项式。然而，靠近边界的误差就比较大，因为边界上的单元形状与几何相似，局部和整体坐标不是线性。因此，尽管在局部坐标中是二阶多项式，形函数在x和y上并不是严格的二阶多项式。模型库路径：COMSOL_Multiphysics/Benchmarks/poisson_unit_disk使用图形化用户界面建模下面说明如何使用图形化用户界面得到上面的图。模型导航视窗选项和设定1在模型导航视窗，从空间维度中选择2D。2在应用模式列表中，打开COMSOLMultiphysicsPDE模式，然后打开古典偏微分方程。3选择泊松方程式。4在单元列表中选择拉格朗日–二次(缺省的单元类型)。5点击确定。1在选项菜单选择轴/格点设定。2输入下表中的轴限制。3点击格点标签。4清除自动选择框，输入下面的格点间格和特别点：轴格点页码，2/8(W)w2011/5/26mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C...几何建模物理设定边界条件模型中的缺省边界条件是u=0，因此不需要做改变。求解域设定缺省f为1，因此也不需要做改变。网格求解点击主工具条上的求解按钮。后处理和图形化要以3D表面的形式观察结果，点击绘图工具条上的3D表面图。将FEM的结果与解析解对比：x最小-2x间格0.5x最大2特别xy最小-1.5y间格0.5y最大1.5特别y1在绘图工具条上点击椭圆形/圆形(以圆心)。2点击右键，画一个圆心在(0,0)，半径为1的圆盘。1点击主工具条上的网格模式按钮来初始化和显示网格。2点击主工具条上的细化网格按钮。1点击绘图参数工具条按钮。2点击表面标签。3在表面数据的表达式编辑框中键入u-(1-x^2-y^2)/4。页码，3/8(W)w2011/5/26mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C...施加点源对于在圆心处有一个点源的单位圆上的Poisson方程，其正式表达式为：其中δ是在圆心的Diracδ分布。解析解为，在圆心处存在一个奇异点。最简单的描述点源的方法是使用一个额外的弱项，为此，用户需要了解一些FEM理论和PDE的弱解的基础知识。要得到广义Poisson方程的弱解形式(其中f是任意的源项)，乘上一个试函数utest，并在求解域内Ω积分：分布积分，引入Lagrange乘子λ处理边界上的约束，得到：4点击确定。页码，4/8(W)w2011/5/26mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C...这些方程中的各项是域Ω内或边界∂Ω上的积分。可以向方程中引入一个额外的弱项。要处理在Ω或∂Ω上的积分，COMSOLMultiphysics同样要处理来自于边和奇异点的贡献。软件不是积分来自点的贡献，而是直接将它们累加到方程中。只要源项f是一个空间、解变量和时间的函数，COMSOLMultiphysics就可以离散给定的积分方程。不幸的是，无法以COMSOLMultiphysics能积分的函数形式表述Diracδ分布。根据Diracδ分布的定义，下式成立：因此，设定f为0，并在原点上添加一个弱项utest来修正弱形式。下面的案例模型采用了局部精细化网格来处理位于原点的奇异点的解析度。模型库路径：COMSOL_Multiphysics/Benchmarks/point_source使用图形化用户界面建模模型导航视窗1在模型导航视窗的空间维度列表中选择2D。2在应用模式列表中打开COMSOLMultiphysicsPDE模式，然后是古典偏微分方程。3选择泊松方程式，在单元列表中确认选中拉格朗日–二次。页码，5/8(W)w2011/5/26mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C...选项和设定几何建模4点击确定。1在选项菜单选择轴/格点设定。2在轴/格点设定对话框中，输入下列参数：轴x最小-2x最大2y最小-1.5y最大1.53点击格点标签。4清除自动选择框。5在格点间格的编辑框内输入下列值，然后点击确定。格点x间格0.5特别xy间格0.5特别y1点击绘图工具条上的椭圆/圆(以圆心)按钮。2按住右键，画一个圆心在(0,0)，半径为1的圆。3点击绘图工具条上的点按钮，在原点上点击一次。页码，6/8(W)w2011/5/26mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C...物理设定点设定边界条件缺省的边界条件是u=0，所以不需要作任何修改。求解域设定网格因为解在原点处存在奇异点，因此需要在该点附近生成更高解析度的网格：1在物理量菜单选择点设定。2在点设定对话框中选择点3。3在弱项编辑框中键入u_test。4点击确定。1在物理量菜单选择求解域设定。2选择求解域1。3键入PDE的参数，然后点击确定。属性值c1f01从网格菜单选择自由网格参数。2点击点标签。3选择点3。4在最大单元尺寸编辑框中键入0.001。5点击重划网格按钮。6点击确定。页码，7/8(W)w2011/5/26mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C...求解点击主工具条上的求解按钮。后处理和图形化点击绘图工具条上的3D表面图按钮来显示3D表面的结果。解析解表明在原点是一个无限大的值，因此很难评价误差的大小。因为解是轴对称的，可以在以原点出发的一条线段上将COMSOLMultiphysics的结果与解析解进行比较。另一种检查解精度的方法是在求解域上积分数值解与解析解之间的差。结果表明，尽管原点附近的局部误差很大，在L2上的平均全域误差很小。1从后处理菜单选择剖面图参数。2在剖面图参数对话框，点击线/拉伸标签。3在y轴数据的表达式编辑框中键入u+log(x^2)/(4*pi)。4在剖面线数据区，x0中键入0.02，x1中键入1，y0和y1保持缺省值0。5点击确定。页码，8/8(W)w2011/5/26mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C...