4.1--线性微分方程的一般理论

第四章高阶微分方程§4.1线性微分方程的一般理论一、n阶线性微分方程二、齐次线性方程的解的结构与性质三、非齐次线性方程与常数变易法一、n阶线性微分方程当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解阻力的大小与运动速度外力f(t)沿垂直方向作用在物体上,若有一物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,如图建立坐标系.设时刻t物体位移为x=x(t).1.弹性力f1=cx物体所受的力有:成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.2.阻力3.外力f(t),据牛顿第二定律得,2mn令,2mck则得振动方程:)(dd2dd222tfxktxntx——二阶线性微分方程n阶线性微分方程的一般形式为)1()()(dd)(dd)(dd1111tfxtatxtatxtatxnnnnnn),,2,1(],,[)()(nibaCtftai、其中,0)(时当tf)2(0)(dd)(dd)(dd1111xtatxtatxtatxnnnnnn方程(2)称为n阶齐次线性(微分)方程./,0)(时当xf方程(1)称为n阶非齐次线性(微分)方程,方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.定理1(解的存在唯一性定理)),,2,1(],,[)()(nibaCtftai、若,,,,],[)1(0)1(000nxxxbat及任意常数则对于任一　初值问题)1(00)1()1(00001111)(,,)(,)()()(dd)(dd)(ddnnnnnnnnxtxxtxxtxtfxtatxtatxtatx在[a,b]上存在唯一的连续解x=(t),且满足初始条件:.)(,,)(,)()1(00)1()1(0000nnxtxtxt二、齐次线性方程的解的结构与性质)2(0)(dd)(dd)(dd1111xtatxtatxtatxnnnnnn定理2(解的叠加原理)若x1(t),x2(t),,xk(t)是方程(2)的k个解,则其线性组合x=c1x1(t)+c2x2(t)++ckxk(t)(c1,c2,,ck是任意常数)也是(2)的解.若k=n,则x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)是(2)的解.问题:x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)一定是(2)的通解吗?为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关及朗斯基(Wronski)行列式概念.定义设函数x1(t),x2(t),,xk(t)定义在区间[a,b]上,若存在不全为0的常数c1,c2,,ck,使得则称这些函数在[a,b]上线性相关,否则称线性无关.例如：在(,)上有故1,cos2t,sin2t在任何区间I上都线性相关.又如：1,t,t2在任何区间I上都线性无关.1,t,t2,,tn在任何区间I上都线性无关.x1(t),x2(t)线性相关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:存在不全为0的k1,k2,使.)()(21常数txtxx1(t),x2(t)线性无关)()(21txtx常数思考:若x1(t),x2(t)中有一个恒为0,则x1(t),x2(t)必线性_________相关定义设定义在区间[a,b]上的k个函数x1(t),x2(t),,xk(t)均有k1阶导数,称行列式为这k个函数的朗斯基(Wrongsky)行列式.定理3若函数组x1(t),x2(t),,xk(t)在区间[a,b]上线性相关,则在[a,b]上其朗斯基行列式W(t)0.反之未必成立.)2(0)(dd)(dd)(dd1111xtatxtatxtatxnnnnnn定理4若方程(2)的n个解x1(t),x2(t),,xn(t)在[a,b]上线性无关,则其朗斯基行列式W(t)0(x[a,b]).由此有:方程(2)的n个解构成的朗斯基行列式W(t)在[a,b]上或者恒等于0,或者处处不为0.定理5n阶齐次线性方程(2)必存在n个线性无关的解.定理6(通解结构定理)若x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(2)的n个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为：x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)(3)(其中c1,c2,,cn是任意常数.)且通解(3)包括了方程(2)的所有解.推论n阶齐线性方程所有解构成一个n维线性空间.定理5n阶齐次线性方程(2)必存在n个线性无关的解.定义n阶齐次线性方程的n个线性无关的解称为方程的一个基本解组.齐次线性方程的基本解组不唯一.若一个基本解组满足W(t0)=1,则称其为标准基本解组.例1验证x1=cost,x2=sint为方程x+x=0的基本解组,并求其通解.解∵x1+x1=cost+cost=0,x1为方程的解.∵x2+x2=sint+sint=0,x2为方程的解.由它们构成的朗斯基行列式故x1,x2是方程的一个基本解组,则方程通解为:x=c1cost+c2sint,(c1,c2是任意常数).三、非齐次线性方程与常数变易法)2(0)()()(1)1(1)(xtaxtaxtaxnnnn线性方程解的性质:性质1若x(t)是方程(1)的解,x(t)是方程(2)的解,则x(t)+x(t)也是方程(1)的解.性质2方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解.)2(0)()()(1)1(1)(xtaxtaxtaxnnnn定理7若x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(2)的基本解组,x(t)是方程(1)的一个解,则方程(1)的通解可表为：x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)+x(t)(4)(其中c1,c2,,cn是任意常数.)且通解(4)包括了方程(1)的所有解.例2已知31y，223xy，xexy233都是微分方程)1(6)22()2()2(22xyxyxyxx的解，求此方程的通解.解∵y1,y2,y3都是微分方程的解,,23xeyy212xyy是对应齐次线性方程的解,21223xeyyyyx常数所求通解为).,(,321221是任意常数ccxcecyx∴ex,x线性无关,例设y1,y2,y3是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解,试用y1,y2,y3表示方程的通解..)()(3132231yyycyycy常数变易法：若(2)的通解为:x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t),令:x=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t)++cn(t)xn(t)为(1)的一个解,)(tf则(1)的一个解为:x=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t)++cn(t)xn(t),例3求方程x3x+2x=te2t的通解,且已知对应齐次线性方程的一个基本解组为et,e2t.解对应齐线性方程通解为,221ttececx令方程的一个解为,)()(221ttetcetcxtte2,)121(21)1(22222tttettetetx故原方程通解为.)121(22221tttettececx定理设非齐次方程(1)的右端f(t)是几个函数之和,(n阶非齐次线性方程解的叠加原理)作业P131:1,3.(1),(2),6,7*例已知y=x及y=sinx为某二阶齐线性方程的解,求该方程.解,0)()(yxQyxPy设方程为,为其解xy)1(,0)()(xxQxP有,sin为其解xy)2(,0)(sin)(cossinxxQxxPx有解得：联立,)2(,)1(,cossinsin)(,cossinsin)(xxxxxxQxxxxxP.0cossinsincossinsin:yxxxxyxxxxy故所求方程为.)2(;)(),()1(:,,1)()(2此方程的通解试求有一特解为齐次方程对应有一特解设xfxpxxxfyxpy*例解(1)由题设可得：,02)(2xxp解此方程组,得.3)(,1)(3xxfxxp),()1)((223xfxxpx(2)原方程为.313xyxy,,1221性无关的解是对应齐次方程两个线显见xyy,1*是原方程的一个特解又xy故方程的通解为.1221xxCCy