5.2线性微分方程组的一般理论

内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作5.2线性微分方程组的一般理论)14.5()()('tfxtAx讨论线性微分方程组的一般理论，主要研究它的解的结构。0)(tf如果，则（5.14）称为非齐线性的。0)(tf如果，则（5.14）称为齐线性的，即称：为齐线性的，通常（5.15）称为对应于（5.14)的齐线性方程组。)15.5()('xtAx内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作5.2.1齐线性微分方程组主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构。前提：A(t)在区间上是连续的。bta1、定理2（叠加原理）如果和是（5.15）的解，则它们的线性组合也是（5.15）的解，这里是任意常数。)()(tvtu)(tv,)(tu（5.15）的所有解构成一个线性空间，那么这个空间的维数是多少？于是有类似的概念：向量函数组线性相关（无关）性，以及向量函数组的伏朗斯基行列式。一、基本定理分析：内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作2、向量函数的相关性考虑定义在区间上的向量函，如果存在不全为零的常数，使得恒等式0)()()(2211txctxctxckkbta)(,),(),(21txtxtxkkccc,,,21对于所有都成立，则称这些向量函数是线性相关的，否则就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。],[bat内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作3、向量函数的伏朗斯基（Wronsky）行列式)()()()()()()()()()()](,),(),([21222211121121txtxtxtxtxtxtxtxtxtWtxtxtxWnnnnnnn由定义在区间上的n个向量函数所作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即)(,),(),(21txtxtxn],[bat其中，)()()(21txtxtxxnkkkk内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作构造一个齐次线性代数方程组，由代数方程解的理论得证。分析：4、定理3若向量函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基(Wronsky)行列式为零，即有：)(,),(),(21txtxtxn[,]ab0)(tW[,]ab内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作6、定理5齐线性方程组（5.15）一定存在n个线性无关的解。分析：反证方法。分析：构造方法。5、定理4如果方程(5.15)的解在区间上线性无关，则在内的任何点上都不等于零，即有：．)(,),(),(21txtxtxn[,]ab)(0)(btatW)](,),(),([21txtxtxWk[,]ab内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作推论1：方程（5.15）的线性无关解的最大个数等于．因此有：齐线性方程组的所有解构成一个维线性空间．nn定义：方程（5.15）的一组个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一．n7、定理6（通解结构定理）如果是方程（5.15）的个线性无关的解，则方程（5.15）的任一解均可表为：其中是相应的确定常数。)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnnn12,,,nccc内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作推论2：如果已知（5.15）的k个线性无关解，则（5.15）可以降低为含n-k个未知函数的线性微分方程组。特别地，如果已知（5.15）的n－1个线性无关解，则（5.15）的通解即可得到。内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作(阶线性微分方程通解的结构定理．)n推论3：如果是阶微分方程的n个线性无关解，其中是区间上的连续函数，则（5.21）的任一解均可表示为)21.5(0)()()1(1)(xtaxtaxnnn)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnn其中是任意常数。12,,,nccc)(,),(1tatanbtan内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作二、基本概念1、解矩阵2、基解矩阵如果一个矩阵的每一列在区间上都是线性无关的解矩阵称为在区间上（5.15）的基解矩阵。btabtann如果一个矩阵的每一列都是（5.15）的解，则称这个矩阵为（5.15）的解矩阵。nn内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作3、定理（通解的结构定理）为了寻求齐线性微分方程组（5.15）的任一解，需要寻求一个基解矩阵。那么，怎样判定一个解矩阵是基解矩阵？这里是确定的维常数列向量．Cn定理1*(5.15)一定存在一个基解矩阵，如果是的任一解，那么()t()()ttC()t内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。例如：0001012ttt定理2*（5.15）的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是．而且，如果对于某一个，则（表示矩阵的行列式）．()tdet()0()tatb0[,]tabdet()0()tatbdet()t()t无穷与有限的转换！线性无关组不一定能构成解！内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作例1验证是方程组的基解矩阵。ttteteet0)(xx1011'21xxx其中2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。解（步骤）：1、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作推论1*5.15）在区间上的一个基解矩阵，是非奇异常数矩阵，那么,也是在区间上的一个基解矩阵．)(tCt)(btabtaCnn这说明：基解矩阵的表示形式不是唯一的．验证方法证明。内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作.)()(Ctt推论2*如果，在区间上是的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上，有()tbtabtaCnn)(txtAx)('这说明基解矩阵的相似性．构造方法证明：构造常数矩阵C.1()()()ttXt内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作5.2.2、非齐线性微分方程组)15.5()(')14.5()()('xtAxtfxtAx目的：利用（5.15)解的结构来讨论（5.14)解的结构.1、非齐线性微分方程组解的性质2、非齐线性微分方程组解的结构3、应用内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作1、非齐线性微分方程组解的性质性质1如果是(5.14)的解，是对应的齐线性微分方程组(5.15)的解,则是(5.14)的解.)(t)(t)()(tt性质2如果,是（5.14）的解，则是（5.15）的解.)(t)(t)()(tt基本思想：代入式验证。基本思想：代入式验证。内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作2、非齐线性微分方程组解的结构定理7设是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解都可表示为这里是确定的常数列向量.)(t)(t)(t),()()(tCttC基本思想：代入式验证？利用性质2。内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作由定理7得知，为了寻求（5.14)的任一解，只要知道（5.14)的一个解和它对应的齐线性微分方程组（5.15)的基解矩阵。那么,如何求它的一个特解？应用前面介绍的常数变易方法求（5.14)的一个解。注释内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作定理８设是（5.15）的基解矩阵，则向量函数是（5.14）的解，且满足初始条件：.)(t0)(0t）（26.5)()()()(01dssfstttt分析定理7和定理8，非齐线性微分方程组（5.14）的满足初始条件的解可由下面公式给出)(t)(0t)27.5()()()()()()(0101ttdssfstttt(5.15)满足初始条件的解)(0t公式（5.26）或(5.27)称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易法。内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作例2：试求初值问题的解。11)0(,,01011'21xxxxexxt解：1、因为是对应齐线性方程组的基解矩阵；()0tttetete内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作2、由定理8，求满足初始条件的解00)0(01()0100ttsstseteetdse2000ttssteteedse211(1)()22000tttttteeeetee内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作3、求题设初始条件的解（利用解的结构定理）.1(0)1h1(1)()()1thttette原方程的解为()()()httt1()(1)20tttteetee1()2ttttteeee内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作求非齐次线性微分方程组求解基本步骤：1、求对应齐次线性微分方程组的基解矩阵；2、求初始条件为0的解；3、再求初始条件的解；理论基础：定理7和定理8（解的结构定理。）注：n阶线性微分方程的求解（推论3）；是否已完全解决了非齐次线性微分方程组的求解问题（没有？）内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作3、应用（n阶非线性微分方程解的结构）(1)、推论3如果是区间上的连续函数，是区间上齐线性方程的基本解组，那么，非齐线性方程)(),(,),(),(21tftatatanbta)(,),(),(21txtxtxnbta)28.5()()()()1(1)(tfxtaxtaxnnn)21.5(0)()()1(1)(xtaxtaxnnn的满足初始条件],[,0)()(')(00)1(00battttn的解由下面公式给出内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作其通解为：)30.5()()()()()(2211ttxctxctxctunn这里是任意常数．nccc,,,21基本方法：常数变易法)29.5()()](,),(),([)](,),(),([)()(021211ttnnknkkdssfsxsxsxWsxsxsxWtxt内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作（2）特殊情况，n=2时的常数变易方法的公式)31.5()()](),([)()()()()(0212112ttdssfsxsxWsxtxsxtxt其通解为：)32.5()()()()(2211ttxctxctu这里是任意常数．21,cc内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作例3：试求方程的一个解。txxtan解：第一步:求对应齐线性方程的基本解组；第二步:求特解；第三步:求任一解。作业：p216-2171,3,6,7,8,9,10(1,2)