基本不等式与柯西不等式

[知识能否忆起]一、基本不等式ab≤a＋b21.基本不等式成立的条件：______________.2.等号成立的条件：当且仅当______时取等号．a0，b0a＝b2．几个重要的不等式a2＋b2≥______(a，b∈R)；ba＋ab≥___(a，b同号)．Ab____a＋b22(a，b∈R)；a＋b22____a2＋b22(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为_________，几何平均数为____，基本不等式可叙述为：___________________________________________________2ab≤两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．≤2a＋b2ab4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_______时，x＋y有最小值是________.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_____时，xy有最大值是_______.(简记：和定积最大)x＝y2px＝yp245．平均值不等式a＋b＋c3≥3abc(a，b，c≥0)二、柯西不等式1．柯西不等式的二维形式(1)柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a21＋a22)(b21＋b22)≥______________(当且仅当a1b2＝a2b1时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.(a1b1＋a2b2)2(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y222．柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…bn为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号．答案：C2．已知m0，n0，且mn＝81，则m＋n的最小值为()A．18B．36C．81D．243解析：∵m0，n0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．答案：A3．(教材习题改编)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析：由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．答案：B4．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：55．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝2x＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则2x＋5y≥210xy＝2，故2x＋5ymin＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．4．柯西不等式的形式特点从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”．[例1](1)已知x＜0，则f(x)＝2＋4x＋x的最大值为_____．(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6[自主解答](1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－4－x＋－x.∵－4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－4－x＋－x≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.∴3x＋4y＝15·(3x＋4y)·1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx＝135＋153xy＋12yx≥135＋15×23xy·12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.[答案](1)－2(2)C本例(2)条件不变，求xy的最小值．解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y，∴xy≥1225，当且仅当x＝3y时取等号．∴xy的最小值为1225.用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．1．(1)(2012·辽阳模拟)函数f(x)＝3x＋12x2(x0)的最小值为________．(2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析：(1)f(x)＝3x＋12x2＝3x2＋3x2＋12x2≥333x2·3x2·12x2＝9，当且仅当3x2＝12x2，即x＝2时等号成立．(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a＋2b2(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.答案：(1)9(2)18(3)10[例2](2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[自主解答](1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t元，依题意，有8－t－251×0.2t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x＞25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．[例3](2012·福建高考)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.[自主解答](1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋12b＋13c≥a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.1．使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．2．利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a21＋a22＋…＋a2n)1a21＋1a22＋…＋1a2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．3．已知x，y，z均为实数，(1)若x＋y＋z＝1，求证：3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33；(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．解：(1)证明：因为(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.所以3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33.当且仅当x＝23，y＝13，z＝0时取等号．(2)因为(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝36，即14(x2＋y2＋z2)≥36，x2＋y2＋z2≥187，当且仅当x＝37，y＝67，z＝97时取等号．所以x2＋y2＋z2的最小值为187.[典例](2011·重庆高考)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5[尝试解题]∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，等号成立.故y＝1a＋4b的最小值为92.[答案]C1.解答本题易两次利用基本不等式，如：∵a0，b0，a＋b＝2，∴ab≤(a＋b)24＝1.又y＝1a＋4b≥24ab＝41ab，又ab≤1，∴y≥411＝4.但它们成立的条件不同，一