D6-3-非齐次方程及齐次边界条件的定解问题

例1求解一端自由的半无限长杆的自由纵振动20(0,0)(,0)(0)(,0)(0)(0,)0ttxxtxuauxtuxxxuxxxut(1)(2)(4)(3)行波法例题12(,)()()uxtfxatfxat12()()()fxfxx(5)12()()()afxafxx1201()()()xfxfxxdCa(6)其中：C=f1(0)–f2(0)解：(1)式的通解为故由(2)式有由(3)式有即解(5)、(6)式得1011()()()(0)222xCfxxdxa(7)(8)以上二式均是在0≤x∞的前提下推得的。因为x+at总是大于、等于零的，故由(7)式有1011()()()222xatCfxatxatda(9)至于x–at就不一定是大于零了。2011()()()(0)222xCfxxdxa(I)若x–at≥0，则由(8)式，有(II)若x–at0，则(8)式不能用。但将(4)式代入通解，得2011()()()222xatCfxatxatda(10)12()()0fatfat令x–at0，并对上式从0到x积分，得到12()()fxfxC即21()()(0)fxfxCx(11)故22()()(0)fxatfatxatx(11)1()fatxC(7)011()()22atxatxdCa(12)将(9)、(10)、(12)各式一并代入通解，得0011(0)22(,)11(0)22xatxatxatatxxatxatdxatauxtxatatxddxata(13)例2求解定解问题20(0,0)(,0)()(0)(,0)()(0,)()ttxxtuauxtuxxxuxxutgt(1)(3)(2)解(1)式的通解为12(,)()()uxtfxatfxat(4)故类似于上例解法一，由(2)、(4)式可得102011()()()(0)22211()()()(0)222xxCfxxdxaCfxxdxa(6)(5)从而有1011()()()222xatCfxatxatda(7)且当x–at≥0时，有2011()()()222xatCfxatxatda(8)当x–at≤0时，(6)式不能用，但由边界条件(3)、(1)的通解(4)有12()()()(0)fatfatgtat21()()()(0)xfxgfxxata(9)所以，此时由(9)式可得221()()()()atxfxatfatxgfatxa011()222atxxCgtatxdaa(5)(10)即将(7)、(8)、(10)各式一并代入(4)式，得11(0)22(,)11()(0)22xatxatxatatxxatxatdxatauxtxxatatxdgtxataa6.3非齐次方程及非齐次边界条件前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力的作用，振动纯粹是由位移和初速度引起的。驱动力：方程非齐次边界非齐次如何求解？补充非齐次方程'''()ypyqyfx(1)设y1(x),y2(x)是与式(1)相应的齐次方程y''+py'+qy=0的线性无关的特解。1122()()CyxCyx(I)非齐次方程的通解是相应齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。(II)常系数变易法。将C1变为u(x)，C2变为v(x)，即设式(1)的解具有下述形式：12()()()()()yxuxyxvxyx(2)将它代入式(1)，得到确定u(x)与v(x)的一个条件121212()()()()uyvypuyvyquyvyfx(3)确定两个函数需要两个条件，因此还可以附加一个确定u(x)，v(x)的条件。为此，对式(2)两边求导，得为方便起见，第二个条件规定上式第二项为零，即1212'('')('')yuyvyuyvy12''0uyvy(5)(4)将式(5)代入式(3)，并利用y1(x)及y2(x)是齐次方程的解，即有12''''()uyvyfx将式(5)和式(6)联立，即可求出：(6)211212()()'()'()(,)(,)yfxyfxuxxyyyy(7)式中Δ(y1,y2)=y'2y1–y2y'1为朗斯基行列式。用ξ表示式(7)中的x，再对ξ由0到x积分，得到2112001212()()()()(,)(,)xxyfyfuxdCxdCyyyy(8)将式(8)代入式(2)即得式(1)的通解为21121122001212()()()()(,)(,)xxyfyfyydydCyxCyxyyyy(9)[例1]求解常微分方程的初值问题2''()()()(0)'(0)nnnnnnnnaTtTtftlTT()(11)(10)解：与式(10)相应的齐次方程T‘’n(t)+γ2T(t)=0的线性无关的特解为cosγt和sinγt，朗斯基行列式为cos(sin)(cos)sintttt代入式(9)便有0012120sin()cos()()cossin1cossin()sin()cossinttnnntnffTttdtdCtCtftdCtCt(12)将式(12)代入式(11)，可得C1=φn,C2=ψn/γ。再将C1及C2代入式(12)即得解。现在研究：一、有外力作用的情况为了把外力作用引起的振动和初值引起的振动区别开，考虑纯强迫振动，即初值为零的情况。这样方程是非齐次的，边界条件和初始条件是齐次的。例：求两端固定弦的受迫振动的规律(6-3-1)(6-3-2)(6-3-3)解：对于非齐次方程(1),如果直接用分离变量的方法,设特解u(x,t)=X(x)T(t),不能把方程(1)化为两个常微分方程。但其对应的齐次方程在分离变量后得到本征函数系，可将u(x,t)及非齐次项f(x,t)对展开，有(6-3-4)(6-3-5)(6-3-6)其中：把(4)和(5)代入(1)，得求u(x,t)的问题变为在初始条件(8)下解非齐次常微分方程。由常数变易法可求得由(6-3-3),(6-3-4)可得到初始条件再由的正交性可得把(6-3-9)代入(6-3-4)式，即为所求。(6-3-9)(6-3-7)(6-3-8)例：求解下列定解问题222224()0rauCxyxyaU解方法一：用相应齐次方程的本征函数展开的方法设解为0(,)()sin()cosnnnurArnBrn将非齐次项展开，这时只有一项，即22412sin2CxyCr将它们代入原方程及边界条件，即得222222()1()12(1,2,3,)()1()0(0,1,2,)()0,()0nnnnnnndArdnrArCrnrdrdrrdBrdnrBrnrdrdrrAaBa易解得2222()()()0(1,3,4,)()0(0,1,2,)nnArCrarArnBrn因此，得解为222(,)()sin2urCrar方法二：猜特解的方法，不难猜到，方程222224uuCxyxy有特解334(,)(,)2sin2ssuruxyCxyxyCr设解为(,)(,)(,)sururvrv(r,φ)应该满足如下定解问题240()sin2ravravCa其一般解为0(,)sincosnnnnvrrAnBn由边界条件定出系数22,0,(2),0nnACaAnB解得22(,)sin2vrCar于是，求得222(,)sin2urCrar二、非齐次边界条件的处理定解问题：(6-3-10)(6-3-11)(6-3-12)思路：把非齐次边界条件齐次化(1)设：u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)w(x,t)满足u(x,t)的边界条件，即w(0,t)=u1(t)w(l,t)=u2(t)于是v(0,t)=0v(l,t)=0(6-3-13)(6-3-14)(6-3-15)(6-3-16)(2)求解v(x,t)的定解问题满足条件(6-3-14)的w(x,t)很多,最简单的是设w(x,t)为x的线性函数：w(x,t)=A(t)x+B(t),由条件(6-3-14)可得此类问题属于非齐次方程、齐次边界条件问题，已解决。(1)由于w(x,t)的选取有一定的任意性，故用以上方法得到的解将随w(x,t)的不同而不同。但可证明对定解问题(6-3-10)–(6-3-13)的解是唯一的；(2)这里涉及的实际上是第一类边值问题。对第二类、第三类边值问题也可齐次化。说明：例长为l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题，它的x=0端保持恒温μ0，另一端x=l有面积热流量为q0的定常热流进入。设杆的初始温度分布也是μ0，求杆上的温度变化。解：它的定解问题是200000(,)(,)(0)txxxxxltuxtauxtxlquuukuu(2)(1)(3)按照解的叠加原理，我们设法将这个u(x,t)的定解问题分解为v的定解问题与w(x,t)的定解问题之和，即(,)(,)uxtvwxt并使得v满足与u(x,t)相同的方程和边界条件。于是，函数w(x,t)也满足与u(x,t)相同的方程，而所满足的边界条件就是齐次的了。为使v的形式尽可能地简单，取它为x的线性函数(这必定满足原来的方程)v=Ax+B，其中常数A,B由边界条件和定出，即00qvxuk00xvu00qABuk0xxlqvk所以(4)2000000(,)(0)()txxxxxltvxtavxlvuvqkvqkxu那么w(x,t)=u(x,t)–v的定解问题则是2000(,)(,)(0)00()txxxxxltwxtawxtxl既然v的定解问题是2(21)1[]022208(1)(21)(,)sin(21)2nantlnqlnxwxteknl因而2(21)1[]00202208(1)(21)(,)sin(21)2nantlnqqlnxuxtxekknl用分离变量法直接求解，得到但是，现在如取v为x的线性函数，则是无法满足边界条件(2)的。考虑到本问题的直接扰动源u|x=l=Asinωt，而且这是频率为ω的振动，我们试取例求解长为l的均匀杆的纵振动问题解：为将边界条件齐次化，设20000(,)(,)(0)sin00ttxxxxltttuxtauxtxluuuAtuu(2)(1)(3)(,)(,)(,)uxtvxtwxt20(0)0sinttxxxxlvavxlvvAt2''()()()0(0)0()AxAxaAAlA()sinsinAxAxlaa(,)()sinvxtAxt适当地选取函数A(x)使v(x,t)满足方程(1)和边界条件(2)：于是得到A(x)的定解问题解之得到于是