不定积分(PPT课件)

第八章不定积分•第一节不定积分概念与基本积分公式•第二节换元积分法与分部积分法•第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分第一节不定积分概念与基本积分式一、原函数与不定积分二、基本积分表三、小结一、原函数与不定积分的概念如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.定理8.1（原函数存在定理）：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例xxcossinxCxcossin（为任意常数）C(2)若不唯一它们之间有什么联系？I使如果函数)(xf在区间内连续，那么在区间I内存在可导函数)(xF，，都有)()(xfxF.Ix定理8.2（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(设Ｆ是f在区间Ｉ上的一个原函数，则（Ｃ为任意常数）任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx定理3若函数与在区间上都存在原函数，为两个任意常数，则在上也存在原函数，且dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([2121（其中k1,k2不全为零）注：线性法则的一般形式：niiiniidxxfkdxxfk11))(())((例1求nnnnaxaxaxaxpdxxp1110)(.)(其中例2求.1124dxxx例３求xdxxsin3cos基本积分表(1)原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系三、小结思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.第二节换元积分法和分步积分法•一、换元积分法•二、分步积分法问题1xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一、换元积分法在一般情况下：设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）dxxxfxdF)()]([)]([CxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduuf由此可得换元法定理设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()]([dxxxf观察重点不同，所得结论不同.)(xu可导，则有换元公式定理8.4（1）问题2?125dxxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin,costdtdxdxxx251tdtttcossin1)(sin25tdtt25cossin（应用“凑微分”即可求出结果）其中)(x是)(tx的反函数.)()()]([)(xtdtttfdxxf设)(tx是单调的、可导的函数，则有换元公式并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，定理8.4(2）第二类积分换元公式例1求.231dxx解,)23(23121231xxxdxx231dxxx)23(23121duu121Culn21.)23ln(21Cxdxbaxf)(baxuduufa])([1一般地例2求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxx例3求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa例4求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx例5求.)11(12dxexxx解,1112xxxdxexxx12)11()1(1xxdexx.1Cexx例6求解)0.(122adxaxdxax221dxaxaxa)11(21])()([21axaxdaxaxdaCaxaxa|]|ln||[ln21.||ln21Caxaxa例7求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例8求解（一）dxxsin1.cscxdxxdxcscdxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdxCx2tanln.)cotln(cscCxx（使用了三角函数恒等变形）解（二）dxxsin1xdxcscdxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211duuu111121Cuu11ln21.cos1cos1ln21Cxx类似地可推出.)tanln(secsecCxxxdx例9求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax2,2t例10求解.423dxxx令txsin2tdtdxcos22,2tdxxx234tdtttcos2sin44sin223tdtt23cossin32tdttt22cos)cos1(sin32tdttcos)cos(cos3242Ctt)cos51cos31(3253t2x24x.4514345232Cxx例11求解).0(122adxax令taxsec2,0ttdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax说明以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax与定理8.5若)(xu)(xv可导,不定积分dxxvxu)()(存在,则dxxvxu)()(也存在,并有dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(分部积分公式二、分部积分法例12求xdxarctan解令1,arctanvxu则xvxu,112由公式得:dxxxxxxdx21arctanarctanCxxx)1ln(21arctan2例13求bxdxeIaxcos1和bxdxeIaxsin2解)sincos(1)(cos11bxdxebbxeaebxdaIaxaxax)cos(12bIbxeaax)cossin(1)(sin12bxdxebbxeaebxdaIaxaxax)sin(11bIbxeaax由此得到bxeaIbIbxebIaIaxaxsincos2121解此方程组,求得CbabxabxbebxdxeIaxax221cossincosCbabxbbxaebxdxeIaxax222cossinsin三、小结dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）)()()]([)(xtdtttfdxxf第二类积分换元公式dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(分部积分公式第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分三、某些无理根式的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：mnnnnnxxxxxQxPxR121120)()()(0,000其中mn,n,,10m,,,21为非负整数，与都是常数，且，则称它为真分式；若nm,nm若则称它为假分式。tsttsqxpxqxpxaxaxxQ)()()()()(2112111部分分式分解的步骤：第一步对分母)(xQ在实系数内作标准分解：其中),,2,1;,,2,1(,,10tjsiii均为自然数，而且tjqpmjjtiisii,,2,1,04;2211第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如，kax)(的因式，它所对应的部分分式是kkaxAaxAaxA)()(221qpxxNxMq