金融数学--第二章

第二章年金年金是根据一个事先确定的计划或者方案在一段时间内持续的收付款行为。例如，养老金、按揭贷款、固定收益资产的定期收入。分析方法是利用现金流分析方法，计算现值和终值。学习要点一、基本年金现值与终值的计算二、期末年金与期初年金的关系三、延续年金与永续年金的现值四、剩余付款期不是单位时间的年金的计算五、实际应用§2.1基本年金定义2.1若年金现金流在第一个付款期末首次发生，随后依次分期进行，则称这种年金为期末年金。（0，R，R，……，R）定义2.2对于期末年金来说，如果每次付款为1个单位货币，共n期，则称之为n期标准期末年金。（0，1，1，……，1）n期标准期末年金现值上式变形可得n期标准期末年金终值这个终值可以写成211nnnknikvavvvvi1nniiav1120(1)1(1)(1)(1)1(1)nnnnknikisiiiii10nkniknsik结论2.1证明（2）由（1）有所以ninias和有如下关系11(1)(1);(2)1nninininisaias(1)nninisai1(1)11(1)(1)1(1)(1)1(1)11(1)(1)nninnninininnnnnnininiiaiiisaiaiviiaiaia例2.1（商业银行还款方式）现有10年期50万元贷款，年利率为8%。试计算以下四种还款方式应付的利息：（1）在第10年底一次付清；（2）每年年底偿还当年的利息，本金最后一次付清；（3）每年年底偿还固定的金额，10年还清；（4）每年年底偿还额由固定本金和剩余贷款的利息组成，10年还清。解（1）一次性还完的金额为50（1+8%）10=107.946250(万元)偿还利息为107.946250-50=57.946250(万元)（2）所付利息为50×8%×10=40(万元)（3）设每期还款额为R，还款现金流为（0，R，R，…，R）现金流的现值就是贷款金额，所以有即解得R=7.451474（万元）共付利息为10R-50=24.514744（万元）商业银行将上述还款方式称之为等额本息法。10150(1)kkRi1010111.08501.080.08kkRR（4）利用一般会计中的平均摊销的原理每期还款额=固定本金+剩余本金产生的利息第1年底还款额为R1=50/10+50i=9（万元）第2年底还款额为R2=50/10+（50-5）i=8.6（万元）第2年底还款额为R3=50/10+（50-2×5）i=8.2（万元）一般的，第k年底还款额为Rk=50/10+[50-5（k-1)]i=9-0.4（k-1)（万元）共付利息为商业银行将上述还款方式称之为等额本金法。比较一下，第（4）中还款方式所付的利息最后少，而第（3）中还款方式最受欢迎。请大家思考一下？10101110150[90.4(1)]50400.4(1)22()kkkkRkk万元根据我们的生活习惯，都愿意选择稳定点的还款方式，等额本息法的选择比较普遍。如果感觉还款压力不大，可以选择等额本金法，但是我们可以对等额本息法做一些调整，例如缩短短款年限，使得整体的利息变少。定义2.3若年金现金流在第一个付款期初首次发生，随后依次分期进行，则称这种年金为期初年金。（R，R，R，……，0）定义2.4对于期初年金来说，如果每次付款为1个单位货币，共n期，则称之为n期标准期初年金。（1，1，……，1，0）n期标准期初年金：（1，1，1，……，0）n期标准期初年金现值n期标准期末年金终值结论2.221(1)(1)()(1)(1)1(1)nnininnnkkaiaivvvvivivid(1)1(1)1(1)(1)nnniniiisisiidninias和有如下关系11(1)(1);(2)nninininisaidas证明（2）由（1）有所以结论2.3(1)nninisai1(1)11(1)(1)1(1)(1)1(1)11(1)(1)nninnninininnnnnnininidaiddsaiaiviiaiaia11(1)(1),1;(2)(1),1.ninininininininiaiaaasisss例2.2某人从现值开始每年定期地投入相同的一笔钱，希望在第12年底得到100万元的回报。如果年利率为7%，实际上每年的投入金额。解假设投入的现金流为（R，R，R，……，0）终值为100万元，则有解得R=5.224485（万元）120.07100Rs定义2.5若年金现金流首次发生在递延了一段时间后进行，这样的年金称为递延年金。例如，递延m期的n期期末标准现金流（0，0，…，0，1，1，…，1）这个现金流的现值可以认为是下面两个现金流现值的差（0，1，…，1，1，1，…，1）和（0，1，…，1）即还可以表示为mnimiaamniva定义2.6若年金的现金流永远持续不断的支付下去，没有终结日期，这样的年金称为永续年金。例2.3某人留下遗产10万元，第一个10年将每年利息付给甲，第二个10年将每年利息付给乙，20年后将每年利息付给丙丙一直持续下去，均在年底支付。假设年利率为7%，计算三人的相对收益比例。11lim,lim,iniininnaaaaid解甲的受益相当于10年期的期末年金，现值为乙的受益相当于递延10年的10年期的期末年金，现值为丙的受益相当于递延20年的永续年金，现值为这三者的受益比例分别为49.2%，25.0%，25.2%100.077%104.916507a10100.077%102.499303va200.077%102.584190va剩余付款期不是单位时间的现金流的计算当年金现金流的为整数时，同时要保证每一期的支付也为整数，就会导致现值与现金流不一致，产生零碎的部分，对这一部分需进行处理。对于任意的在[0，1]的t，定义如下的现值(1)1tntntiniiaavi例2.4现有10万元的投资，年利率为5%，每年年底定期收回1万元。试问：这样的定期回报可以进行多少年？对不足1万元的最后一次回报部分，按一下三种方式计算回报金额。方式A：不足1万元部分与最后一次正常回报同时收回；方式B：不足1万元部分在最后一次正常回报的下一年底收回；方式C：不足1万元部分在最后一次正常回报的下一年的某个等价时间收回；解（1）设正常回报为n年，则有解得14n+t15，取n=14这种正常回报可以持续14年（2）设这三种方式对应的不足部分的金额为XA，XB，XC万元A方式的现金流为（0，1，1，…，1+XA）有如下的终值方程0.0510(0,1)ntant为非负整数，解得XA=0.200684（万元）B方式的现金流为（0，1，1，…，1，XB）有如下的终值方程解得解得XB=0.210718（万元）C方式的现金流为（0，1，1，…，1）和在14年后时间段为t的现金流（0，XC）有如下的现值方程15140.05(10.05)101.05AsX14140.05101.05AsX又因为所以有解得t=0.2067于是XC=[(1+i)t-1]/i=0.202719(万元)(1)1tntntiniiaavi140.0510ta14110tvi例2.5某人每年底存入1000元，年利率为8%，希望经过若干年后达到25000元。若最后一次不足1000元的存款将在正常存款的一年后进行，试计算正常存款年数和最后一次存款的金额。解设正常存款年数为n，则有解得14n+t15，取n=14因此正常存款可以进行14年0.08100025000(0,1)ntant为非负整数，设最后一次存款额为X，则有解得X=-1152即在15年底的时候，不需要再追加资金，本身的投资已经超过了预期的目标。140.081000(10.08)25000sX140.081000(10.08)25000s补充例题（循环的现金流）已知一笔现金流如下现在通过不断的重复这个现金流，得到无限长度的现金流。设每一期利率为i，P和A分别表示现金流X的现值和终值。试由P和A计算现金流的现值。012(,,,,),nXxxxxXXP解把每n项看做一个整体，则这是一个每期为X的n期的永续年金。那么它的现值为：同样，可以用A来表示。(1)1(1)1/(1)(1)1/(1)(1)1knknknnkPPiPiPii(,,,,)XPPP