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2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。2.7.2性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20(5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。性质4：（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。这是因为(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1(2k)2=4k2性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。性质7：完全平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得(3m)2=9m2=3k(3m+1)2=9+6m+1=3k+1(3m+2)2=9+12m+4=3k+1同理可以得到：性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数为5k型。性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面以四位数为例来说明这个命题。设四位数为，则1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。对于n位数，也可以仿此法予以证明。关于完全平方数的数字和有下面的性质：性质10：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而(9k)2=9(9k2)+0(9k±1)2=9(9k2±2k)+1(9k±2)2=9(9k2±4k)+4(9k±3)2=9(9k2±6k)+9(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7性质11：a2b为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。性质12：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。证明由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。即若n2k2(n+1)2，则k一定不是整数。性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。2.7.3重要结论1、个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；3、个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；4、形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；5、形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；7、形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；8、数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。9、四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和10、完全平方数的因数个数一定是奇数。2.7.4典型例题例1一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m2⑴x+44=n2⑵（m,n为自然数）⑵-⑴可得:n^2-m^2=89因为n+mn-m又因为89为质数，所以：n+m=89;n-m=1解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是1981。例2求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年基辅数学竞赛题）。解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.这时，(n-1)n(n+1)(n+2)+1=…①易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1故①可被分解为，因为n与n+1是连续两个整数，故n(n+1)为偶数，所以[n(n+1)-1]为奇数，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇数的平方。例3求证：11,111,1111，11111……这串数中没有完全平方数。（1972年基辅数学竞赛题。解：易知该串数中若存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方。当该串数中存在末尾为1的数的平方时，则，其中n、k为正整数。但，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。解2：完全平方数除以四余数为0或1，而根据除以四余数性质（一个数除以四的余数=这个数末两位除以四的余数）可得，这串数除以四余数为3，矛盾，所以这串数中没有完全平方数。例4用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为6003|600∴3|A此数有3的因数，故9|A。但9|600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。例5试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）。解：设该四位数为1000a+100a+10b+b，则1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11（100a+b）故100a+b必须被11整除=a+b被11整除，又因为(a+b)≤18所以a+b=11，带入上式得四位数=11×（a×100+（11－a））=11×（a×99+11）=11×11×（9a+1)故9a+1必须为完全平方数。由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得，9a+1=19、28、27、46、55、64、73。所以只有a=7一个解；此时b=4。因此四位数是7744=112×82=88×88。例6求满足下列条件的所有自然数：⑴它是四位数。⑵被22除余数为5。⑶它是完全平方数。解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。11|N-5或11|N+6或n=1不合n=21369n=334812601n=465615329n=59025所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。例7矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积（1986年缙云杯初二数学竞赛题）。解：设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B则该四位数为：1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且为完全平方数所以100A+B能被11整除=A+B能被11整除，又因为A+B≤18故A+B=11易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10验证得该数64所以A=7,B=4，则四位数是7744例8求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。（1986年第27届IMO试题）设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b，使得ab-1不是完全平方数。解：显然2*5-1=92*13-1=255*13-1=64都为完全平方数假设2d-1为完全平方数,注意到d为正整数,2d-1为奇数不妨设2d-1=(2n-1)^2得d=2n^2-2n+1此时5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方数同理假设5d-113d-1为完全平方数可以分d为奇偶去证明.例9求k的最大值，使2010可以表示为k个连续正整数之和。解：假设这k个数为a,a+1,a+2,...,a+(k-1)它们的和为ka+k(k-1)/2=2010k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67显然k最大只能是60,此时a=4例10某校2001年的学生人数是个完全平方数。该校2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是完全平方数。该校2002年学生人数是多少？解：设2001年的学生人数是X^2,2002年的学生人数是Y^2,则Y^2-X^2=101即：(Y+X)(Y-X)=101=101*1所以：X+Y=101Y-X=1解之得Y=56X=55所以该校2002年的学生人数是：56*56=3136