高中数学选修4-4-简单曲线的极坐标方程(第一课时)

3、极坐标与直角坐标的互化公式复习1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。)0(tan,222xxyyxsin,cosyx)2,0[,02、已知极坐标系中两点如何求线段|PQ|的长？19||PQ),2,2(Q推广：极坐标系内两点的距离公式：),(),,(2211QP)cos(2|PQ|21212221探索？1、极坐标系中点的对称关系?关于极轴所在直线对称的点为,,,关于极点对称的点为,(3,)6P1、在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,)，则△OAB的面积是______，|AB|=。365ABOx四、拓展：541203（2）在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；)3,3(（3）在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点，则顶点C的坐标是＿＿＿＿＿＿。)45,2(),4,2(BA3,33323,23,-44或探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)OMA(,)2,(,)cos2cos...........(1)(0,),(2,0)(1)2OAOAaMOAOMAMRtAMOOMOAMOAaOAa解：圆经过极点。设圆与极轴的另一个交点是，那么＝设为圆上除点，以外的任意一点，那么。在中即＝可以验证，点的坐标满足等式的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式)1(),()1(OC(a,0)AxM(,)思考：如图，半径为a的圆的圆心坐标为a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xOMA(,)1,Ca1,Ca12cos()a曲线的极坐标方程一定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0；（２）以方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。二求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）④将等式坐标化⑤化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重＝即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心)1(,),(.rrOMMrOO53cos5sin已知一个圆的极坐标方程是＝，求在直角坐标系下圆心坐思考：标和半径。2222253cos5sin53cos5sin535535()()2522535(,),522xyxyxy解：＝两边同乘以得＝－即化为直角坐标为　即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来求吗？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为＝所以圆心为半径为11(,)(0)2cos()aaaaO结论：圆心为半径为，圆的极坐标方程为＝，此圆过极点。53cos5sin已知一个圆的极坐标方程是＝，求圆心坐标和半径。练习1求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为2；(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；(３)中心在(a,/2)，半径为a；(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。＝2＝2acos＝2asin2+02-20cos(-０)=r2解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在△OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1),即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1).也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.1:,A(85.,),3变式在极坐标平面上求圆心半径为的圆的方程练习21.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()12124242sin.Dcos.Csin.Bcos.A方程是什么？化为直角坐标＝、曲线的极坐标方程sin424)2(22yx3cos()4、极坐标方程所表示的曲线是（）A、双曲线B、椭圆C、抛物线D、圆D为半径的圆。为圆心，以＝解：该方程可以化为21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即＝解：410cos()3、圆＝的圆心坐标是)0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、D（）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24sin4(2)4xyyxy解：＝化为直角坐标系为＝即　　2126:2cos,:23sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,,4cosCrOCCMMONCMONM解：如图，圆的圆心半径连结，是弦的中点所以，动点的轨迹方程是＝思考：在平面直角坐标系中过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为x=3y=3四直线的极坐标方程：例1：⑴求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。4oMx﹚4(0)4（2）求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。545(0)4（3）求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。4(0)45(0)4和和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为()4R或5()4R例2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）解：如图，建立极坐标系，设点(,)Mox﹚AM在中有RtMOAcosOMMOAOA即cosa可以验证，点A的坐标也满足上式。为直线L上除点A外的任意一点，连接OM交流做题心得归纳解题步骤：求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。练习1求过点A(a,/2)(a0)，且平行于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，建立极坐标系，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM(,)M在中有RtMOA即可以验证，点A的坐标也满足上式。Mox﹚Asin＝aIOMIsin∠AMO=IOAI课堂练习2设点A的极坐标为，直线过点(,0)all解：如图，建立极坐标系，设点(,)M为直线上异于A点的任意一点，连接OM，l在中，由正弦定理得MOAsin()sin()a即sin()sina显然A点也满足上方程A且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。化简得﹚oMxA﹚例3：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。11(,)lloxMP﹚﹚11A解：如图，设点(,)M的任意一点，连接OM，则,OMxOM1OP1xOP为直线上除点P外由点P的极坐标知设直线L与极轴交于点A。则在中MOP1,()OMPOPM由正弦定理得11sin[()]sin()11sin()sin()显然点P的坐标也是上式的解。即OMPOPOPMOMsinsin练习3求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线的方程。l2)6sin(直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点垂直于极轴4、过某个定点，且与极轴成的角度a3、过某个定点平行于极轴ox﹚AMMox﹚A﹚looxMP﹚﹚11A)(0Rcosasin＝a11sin()sin()11(,)小结：（１）曲线的极坐标方程概念（２）求曲线的极坐标方程的步骤（3）会求圆的极坐标方程（3）会求直线的极坐标方程