非线性系统控制论文

《自动控制原理》论文1非线性系统的状态反馈线性化摘要：本文从微分几何概念入手，介绍了单输入仿射非线性系统状态反馈线性化成立的条件与多输入仿射非线性系统状态反馈线性化，并以锅炉电机为例利用多输入多输出状态反馈线性化理论将其转化为一个线性系统。最后指出非线性系统状态反馈线性化在实际工程中的发展和应用。关键词：微分几何，仿射非线性系统，状态反馈线性化StatefeedbacklinearizationfornonlinearsystemsAbstract：Startingwiththeconceptofdifferentialgeometry,wedescribeconditionswhichestablishlinearizationwithstatefeedbackofsingle-inputaffinenonlinearsystemandlinearizationwithstatefeedbackofmultiple-inputaffinenonlinearsystem.AcaseforBoilerMotor,usingMIMOfeedbacklinearizationtheoryconvertitintoalinearsystem.Finallypointingoutdevelopmentandapplicationofstatefeedbacklinearizationofnonlinearsysteminpracticalengineering.Keywords：Differentialgeometry,Affinenonlinearsystems,Linearizationwithstatefeedback1微分几何自适应控制系统的类型包括1.1非线性坐标变换与微分同胚非线性坐标变换可表示为)(xz（1-1）式中，z与x同维的向量，为非线性函数向量。式（1-1）的逆变换为)(1zx（1-2）存在非线性坐标变换)(x必须满足以下条件：单值性------即)(x与)(1z是一一对应的，亦为可逆条件；《自动控制原理》论文2可微性------即)(x与)(1z皆为光滑函数，它们的任意阶偏导数都是存在的，亦为可微条件。如果上述两个条件是满足的，则)(xz就是一个合格的坐标变换。同时，该坐标变换表达式)(x被称为两个坐标空间的一个微分同胚。判断非线性映射)(xz在0x的邻域是不是局部微分同胚，有下列命题进行判断。设)(xz是定义在nR空间的某一子集U中的光滑函数，如果在0xx点处的雅可比矩阵0xxx是非奇异的，则在包括0x点在内的U的一个开子集0U中，)(x是一个局部微分同胚。1.2李导数设开集nRU，Ux，在U上给出一个光滑的标量函数为),,,()(21nxxxhxh和一个向量场),,,(),,,(),,,()(21212211nnnnxxxfxxxfxxxfxf根据)(xh和)(xf定义一个新的标量函数，记作)(xhLf)()()(,)()(1xfxxhxfxxhxhLiniif（1-3）式中，nxxhxxhxxhxxh)()()()(21。上述定义的标量函数)(xhLf表示函数)(xh沿向量场)(xf的导数，称为李导数。由于李导数)(xhLf是一个标量函数，可再次沿向量场)(xf求李导数，依此类推直至k阶李导数，即)())(()()())(()())((12xfxxhLxhLxfxxhLxhLxhLLkfkfffff（1-4）《自动控制原理》论文3李导数)(xhLf可以沿着另一个向量场)(xg求李导数，即)())(()(xgxkhLkhLLffg（1-5）k阶李导数)(xhLkf也可沿着另一个向量场)(xg求李导数，即)())(()(xgxkhLkhLLkkgff（1-6）1.3李括号1.3.1李括号设有两个同维空间的向量场),,,(),,,(),,,()(21212211nnnnxxxfxxxfxxxfxf和),,,(),,,(),,,()(21212211nnnnxxxgxxxgxxxgxg,定义一个新的向量场，记作)](),([xgxf（简写为],[gf、gadf）nnnnnnnnnnnnnngggxfxfxfxfxfxfxfxfxffffxgxgxgxgxgxgxgxgxggf2121222121211121212221212111],[（1-7）将上式简写成下列形式gxffxggf],[（1-8）式中，xg及xf是对应向量场的雅可比矩阵。上述定义新的向量场],[gf，表示向量场)(xg沿着向量场)(xf方向的导数（变化率），称此导数为李括号。由于],[gf是一个新的向量场，可再次沿着向量场)(xf方向求李括号运算，以此类推，直至k阶李括号，即],[]],[,[12gadfgadgffgadkfkff（1-9）《自动控制原理》论文41.3.2李括号运算法则（1）向量场f对g的李括号等于g对f的李括号的反号（反对称性），即],[],[fggf（1-10）这一法则可由定义证得。（2）若1c和2c是实数（双线性），则],[],[],[22112211gfcgfcgcgcf（1-11）（3）若p是除f与g以外的第三个向量场（雅可比恒等式），则0]],[,[]],[,[]],[,[fpggfppgf（1-12）（4）若f，g为向量场，)(xh为标量函数，则)(xh对向量场],[gf的李导数为)()()(],[xhLLxhLLxhLfggfgf（1-13）1.4向量场集合的对合性如果有k个n维向量场)()()()(,,)()()()(,)()()()(21222212112111xgxgxgxgxgxgxgxgxgxgxgxgknkkknn。若由它们组成的矩阵])()()([)()()()()()()()()(21212221212111xgxgxgxgxgxgxgxgxgxgxgxgGkknnnkk（1-14）在0xx点处的秩为k，又若对每一对整数),1(,kjiji增广了的矩阵]])()([)()()([21xgxgxgxgxgjik（1-15）在0xx点处的秩仍为k，则称该向量场集合)()()(21xgxgxgk（1-16）是对合的，或者说它具有对合性。另外，在几何学中把式（1-16）向量场的集合所张成的空间})()()({21xgxgxgSpank称为分布，则满足上述条件的分布称为对合分布。《自动控制原理》论文5式（1-14）和式（1-15）所表示的矩阵具有相同的秩，其意义是在原有的k个向量场中任意求两个向量场的李括号（求其中之一沿另一个向量场方向的李导数）所得到的新的向量场与原k个向量场不是线性独立的而是线性相关的；也就是说这个新的向量场])()([xgxgji仍包含在原k个向量场所张成的空间之内而不产生新的方向，这就是对合性的几何意义。1.5相对阶1.5.1单输入单输出的非线性系统相对阶对于单输入单输出仿射非线性系统)()()(xhyuxgxfx（1-17）式中，)()(,,1xgxfRyRxn和为向量场。如果1.输出函数)(xh对向量场)(xf的k阶李导数对向量场)(xg的李导数0xx的邻域内的值为0，即0)(xhLLkfg；2.)(xh对)(xf的1阶李导数（1k）对)(xg的李导数在0xx的邻域内的值不为0，即0)(1xhLLfg。则定义非线性系统（1-17）在0xx的邻域内的相对阶为。1.5.2多输入多输出的非线性系统相对阶考虑多输入多输出系统)()()()()()()()()(112211xhtyxhtyuxguxguxgxftxmmmm（1-18）式中，x为n维状态向量；)()(xgxfi及，,,,2,1mi皆为n维状态向量；iu为第i个控制输入量；)(tyi为第i个输出量；)(xhi为x的标量函数。对于每一个输出)()(xhtyii有一个相应的相对阶i，所以多变量系统的相对阶是一集合，即},,,{21m（1-19）每一个子相对阶i满足以下条件，即在0x的邻域内有《自动控制原理》论文6①10)(0)(0)(21iikfgikfgikfgkxhLLxhLLxhLLm，②mixhLLxhLLxhLLifgifgifgimii,,2,1)()()(11121不全为零，③矩阵)()()()()()()()()()(111212121111111212222111211xhLLxhLLxhLLxhLLxhLLxhLLxhLLxhLLxhLLxBmfgmfgmfgfgfgfgfgfgfgmmmmmm在0x的邻域内是非奇异的。综上所述，可得相对阶定义：对于（1-18）所示的多变量非线性系统，如果在0x的邻域内由以下条件成立，即：对于1iik有mimjxhLLikfgij,,2,1,,2,10)(且mm矩阵)(xB是非奇异的，则},,,{21m为系统的相对阶集合，且其中每一个子相对阶i与输出)()(xhtyii是对应的。2状态反馈线性化控制理论对于非线性控制系统，通过适当的非线性状态反馈变换，非线性系统可以实现状态的精确线性化，从而将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题。非线性系统反馈线性化与传统的利用泰勒级数展开进行局部线性化近似的方法不同，在线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因此，这种线性化不仅是精确的，而且是整体的，即线性化对变换有定义的整个区域都适用。2.1单输入仿射非线性系统状态反馈线性化的充要条件考虑n维光滑流形M上的时变仿射非线性系统（），它在任一局部坐标下表示为utxgtxfutxgtxfxmiii),(),(),(),(:1其中mitxgtxfi,,1),,(),,(是M上的时变向量场。因为),(txf或,,1),,(itxgim显含时间t，故称为时变系统。定义时变仿射非线性系统（）称为在0x点可状态反馈线性化的，如果存在一个反馈vtxtxu),(),(和一个局部微分同胚《自动控制原理》论文7),(txzz其中)),(,),,((),(1txtxtxm，为m维时变c函数向量，),(tx),(),(),(),(1111txtxtxtxmmmm为mm时变c函数矩阵，且0),,(0ttx是非奇异的mm矩阵，Z关于x的Jacobian矩阵0,),(0txtxz是非奇异的。使在局部坐标Z下0x。点的一个邻域内反馈系统vtxtxgtxtxgtxfx),(),(),(),(),(变为一个完全能控的线性系统BvAzz关于系统（）的状态反馈线性化问题，有如下结论。定义1如下n个分布niismjgSjsfpi,,2,1}1,,1,0,,,1{定理下面叙述的三种情况等价a)系统（）在0x点状态反馈线性化。1b)nii,,2,1,是0