数学与应用数学-毕业论文----多值函数

摘要本文通过对大量国内外复数域中多值函数的相关研究资料收集和归纳整理,从简单到复杂对多值函数的解析理论研究,将复数域中的多值函数理论知识进行系统化.文中给出了复数域中多值函数的一些判定方法：定义法、分类讨论法、限制辐角法、割破平面法.并对其判定方法给出了相应的例子；本文对复数辐角的变化特性进行了分类讨论，从而加深了辐角多值性的理解,并以此为基础深入分析了多值函数多值的本质原因.以根式函数nz和对数函数(0,)Lnzz为初等多值函数的典型代表，详细论述了多值函数的各单值解析分支的关键问题及其方法；除此之外，本文还利用多值函数来计算解析函数的积分，将解析函数泰勒展开成幂级数以及多值函数的变化特性——共形映射.关键词：辐角；多值函数；单值解析分支；共形映射ABSTRACTThisarticleonthelargemulti-valuedfunctionofcomplexfieldresearchdatacollectionandsynthesis,fromsimpletocomplexmulti-valuedfunctionanalytictheory,makethecomplexfieldofmultiple-valuedfunctionasasystematictheoryofknowledge.Papergivesomedeterminationmethodsonamulti-valuedfunctionofthecomplexfield:thedefinition,classificationanddiscussionoflaw,limitingconvergenceanglemethod,cutplane.anddeterminethemethodofitscorrespondingexample;thischangeonthepolaranglecharacteristicsofcomplexwereclassifiedanddiscussedinordertoenhancetheconvergenceanglemorethanthevalueofunderstandingasthebasisforin-depthanalysisofthevalueofmulti-valuedfunctionoverthenatureofreason.toradicalfunctions,andlogarithmicfunctionsastheprimaryrepresentativeofthetypicalmulti-valuedfunctionindetaildiscussesthemulti-valuedfunctionofthesingle-valuedanalyticbranchofthekeyissuesandmethods;Inaddition,weusethemulti-valuefunctiontocalculatetheintegralanalyticfunctions,andwillexpandintoaTaylorpowerseriesofanalyticfunctionsandmulti-valuedfunctionchangecharacteristics-Conformalmapping.Keywords:Argument;multi-valuedfunction;single-valuedanalyticbranch;conformalmapping目录前言······························1页第一章复数辐角的多值性····················2页1.1复数辐角的多值性····················2页1.2辐角的变换特性·····················3页第二章初等多值函数的多值解析性················5页2.1根式函数nz·····················5页2.1.1幂函数的变换性质及其单叶性区域··········5页2.1.2分出nz的单值解析分支·············7页2.2对数函数(0,)Lnzz················10页2.2.1指数函数的变换性质及其单叶性区域········10页2.2.2分出Lnz的单值解析分支···········11页2.3反三角函数与反双曲函数················12页2.4一般幂函数与一般指数函数···············13页2.5具有多个有限支点的情形················13页第三章多值解析函数的积分与幂级数的表示法··········15页第四章多值函数的共形映射··················17页4.1变换nz和nz（n为大于1的整数）········17页4.2变换lnzez及··················18页第五章结论·························20页参考文献···························21页致谢·····························22页琼州学院本科毕业论文（设计）1前言在复变函数中，多值函数占着极其重要的部分，本文要深入学习解析函数及其应用是无法离开初等多值函数的.对多值函数的研究，只有在复数域中通过初等函数多值性的性质分析，分解出其单值分支，才能了解多值函数的变换特性.因此，着重讨论了：多值函数的多值性产生的原因、初等多值函数多值解析性及如何分出其单值解析分支、并利用多值函数计算积分及展开成幂级数以及多值函数的变化特性---共形映射.第一章复数辐角的多值性2第一章复数辐角的多值性1.1复数辐角的多值性形如zxiy或zxyi的数，称之为复数.其中x和y是任意的实数.在复平面上，从原点到点zxiy所引的向量与这个复数z构成一一对应关系（复数0对应着零向量）.设复数zxiy对应于点(,)Pxy，则复数z与向量OP对应.若在复平面引入极坐标系，使极点与直角坐标系的原点o重合，使极轴与x轴重合.（如图1-1）图1-1对于复平面上任意一个复数z，其极径||rz（亦称为复数z的模）.极角为正实轴依逆时针方向旋转到射线oz所经过而成的角，这样的角称为复数z的辐角，记作Argz.值得注意的是：(1)当0z时，辐角没有意义.(2)当0z时，因为角具有周期性，其辐角除了相差一个2的任意整数倍外是惟一确定的.因此，任意一个复数0z都有无穷多个辐角.设0为复数z的一个辐角，那么有02(1,2...)kk，即得到了复数z的全部辐角.为了确定起见，取其中一个确定的辐角与之对应，称为辐角的主值，记作argz.通常取argz，则有（如图1-2）arctan,arctanarg0,020,02yzxyzxzxyxy在第Ⅰ，Ⅳ象限，在第Ⅱ,Ⅲ象限，当时，当时琼州学院本科毕业论文（设计）3图1-2因此，不管主值如何取，都有arg2()Argzzkkz（1-1）即辐角具有多值性.同样的，在极坐标系下，复数||exp()zzi，为z的辐角.所以任何初等函数()fz都可以表示为()|()|exp[(())]fzfziArgfz（1-2）1.2辐角的变换特性图1-3设在z平面上有一条起点为1z，终点为2z的简单曲线C.若给定点1z的辐角为1rgAz，当动点z沿着简单曲线C从1z开始连续变化到2z点时，辐角也将从1rgAz开始连续变化，设21rgrgAzAz，称21rgrgAzAz为z沿简单曲线C的辐角改变量.记为argcz.若考虑z沿着一条简单闭曲线C变动时，它的辐角变化有下面两种情况：第一章复数辐角的多值性4（1）设原点在C的内部（如图1-4），当动点z由某定点1z开始沿着C的正向连续变化一周而回到1z点时，辐角增加了2，即arg2cz.图1-4（2）设原点在C的外部（如图1-5）.当动点z由某定点1z开始沿着C的正向连续变化一周而回到1z点时，辐角没有发生变化，即arg0cz.图1-5由此看出，辐角改变量与原点是否包含在所给的简单闭曲线内有关，若动点z沿着包含原点在内的闭曲线的正向连续变化k周，则arg2czk（k为整数）.若动点z沿着不包含原点在内的闭曲线的正向连续变化，则无论变化几周，arg0cz.琼州学院本科毕业论文（设计）5第二章初等多值函数的多值解析性常见的初等多值函数有根式函数，对数函数，反三角函数与反双曲函数，一般幂函数等等，在这一章中，主要来讨论根式函数及对数函数多值性的性质，找出它们的支点，分出它们的单值解析分支，并分析初等多值函数的变换特性，将多值函数变成单值函数.2.1根式函数nz为了下面的讨论的需要，先给出如下的定义：定义[1]2.1设E为一复数集，若对E内每一复数z，有惟一确定的复数与之对应，则称在E上确定了一个单值函数()()fzzE.并且称区域E为()fz的单叶性区域.而若对E内每一复数z，有几个或无穷多个与之对应，则称在E上确定了一个多值函数()()fzzE.定义[8]2.2对某个多值解析函数()fz，若点za（在扩充复平面上，a可以是）具有这样一个特性：在za的充分小的邻域内，作一条包围该点的简单闭曲线C，当z从C的某点出发，绕C连续变动一周回到出发点时，()fz将从一个值变到另一个值，即arg()0cfz，则称此点为多值解析函数()fz的支点.根据定义2.1，则在(1-2)式中，|()|fz是单值函数，而()fz是多值函数.所以多值函数的多值性是由辐角函数的多值性引起的.2.1.1幂函数的变换性质及其单叶性区域幂函数(1)nzn为大于的整数（2-1）在平面上是单值解析的.它把扩充平面变成扩充的z平面.并且0,z分别对应于0,.根据辐角函数，有(arg2)||||(0,1,,1)iArgzizkzzezekn所以arg2||||(0,1,,1)Argzzkiinnnnnzzezekn这就说明每一个不为零或的z，在平面上有n个原象，且此n个分布在以原点为中心的正n角形顶点上，于是函数（2-1）的反函数nz在z平面上就有n个值.设,iizre则由函数（2-1）得：irnine所以有，第二章初等多值函数的多值解析性6rn,2()nkkz.于是有，argargzn即函数（2-1）把平面上的射线L：0,arg变成z平面上射线l：0n并把圆周0变成r0n如图2-1所示：图2-1在平面上的动射线从射线0扫动到射线0时，在变换nz下的像，就是在z平面上从射线0扫动到射线0n.从而，平面上的角形00n（如图2-1）因此，变换（2-1）把平面上的角形nn变成z平面除去原点及负实轴的区域（如图2-2）图2-2不仅如此，变换（2-1）把张角为2n的n个角形k：22()()kknnnn(0,1,,1)kn都变成z平面除去原点及负实轴的区域.（图2-2则是0k的情况）因此，幂函数(1)nzn为大于的整数的单叶性区域，是顶点在原点0z，张角不超过2n的角性区域.琼州学院本科毕业论文（设计）72.1.2分出nz的单值解析分支根式函数nz是一对多的映射，造成一对多的原因是复数z的辐角的不惟一.实际上，若设izre则2(0,1,,1)kinnrekn，因为k可取n个值所以一个复数z对应着有n个函数值.它们位于半径为nr的圆周上，彼此张角为2n.根据上面对幂函数变换性质及其单叶性区域的讨论，可知，z所对应n个w值分别分布在复平面的n个角形区域k内，把每个角形区域k内的函数值都称为函数的一个分支.根