信号与线性系统题解--阎鸿森-第九章

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信号与线性系统题解阎鸿森第九章习题答案9.1如图P9.1所示,两个理想模拟滤波器级联和并联,其中)(1H是低通,截止频率为1c;)(2H是高通,截止频率为2c:(a)当1c2c时,试证明,图P9.1(a)相当于一个理想带通滤波器,并确定其通带宽度。(b)当1c2c时,试证明,图P9.1(b)相当于一个理想带阻滤波器,并确定阻带宽度。(c)如果按图P9.1联接的是两个数字滤波器(离散时间滤波器),情况会是如何?)(tx)(ty(a)(b)解:(a))(1H是低通,截止频率为1c;)(2H是高通,截止频率为2c11101{)(ccH,22201{)(ccH当1c2c时,otherwiseHcc01{)(12故级联后的滤波器为理想带通滤波器,其通带宽度为:21ccB。(b)当1c2c时,)(1H)(1H)(1H)(2HotherwiseHcc10{)(21,故级联后的滤波器为带阻滤波器,阻带宽度为:12ccB(c)数字滤波器结果与上类似。9.2图P9.2中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器,反之亦然。(a)证明当)(H是截止频率为p的理想低通滤波器时,整个系统相当于一个理想高通滤波器。确定其截止频率,并粗略绘出其单位冲激响应。(b)如果)(H是一个截止频率为p的理想高通滤波器,证明整个系统相当于一个理想低通滤波器。并确定其截止频率。(c)如果把一个离散时间理想低通(或高通)滤波器按图P9.2联接,所组成的系统是理想的离散时间高通(或低通)滤波器吗?图P9.2解:(a))(H是低通滤波器,截止频率为potherwiseHp01{)(整个系统的频率响应为:otherwiseHHp01{)(1)(1故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为:tttthphp)sin()()(其波形如图所示。)(H)(tx)(ty(b))(H是高通滤波器,截止频率为potherwiseHp01{)(整个系统的频率响应为:otherwiseHHp01{)(1)(1故整个系统相当于一个理想低通滤波器,其截止频率为p。(c)是。9.3某模拟低通滤波器的幅频特性如图P9.3所示。试对下列每种相位特性,求出该滤波器的单位冲激响应并概略绘出其波形。(a)∢)(H=0(b)∢)(H=ΩT,其中T为常数(c)∢)(H=0,2/0,2/解:(a)若∢)(H=0,则有:ttthcasin)(波形如图所示:(b)若∢)(H=ΩT,则有:TjabeHH)()()()(sin)()(TtTtTththcab图9.3(c)如∢)(H=0,2/0,2/,则0)(0)({)(aacjHjHH)(cH可视为如下的卷积:)]2()2([*)2()(ccacjHH2/)(sin)(2ttthcc9.4若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为)(nh,频率响应如图P9.4所示。另一个新的滤波器的单位脉冲响应为)(1nh,且为奇数为偶数nnnhnh,0),2/()(1试确定并粗略画出新滤波器的频率特性)(1jeH。指出它属于哪一种滤波器(低通,高通,带通,带阻)。解:nnjnjnjjeHenhenheH)(][)()(2211,其频谱如下所示,它是一个带阻滤波器。)(jeH2c2c1)(jeH2cc129.5在许多滤波问题中,人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器,实现零相位是不可能的。然而,在非实时要求的情况下,零相位过滤是可能的。如果要处理的序列)(nx是有限长的,)(nh是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应,且)(nh是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应,且)(nh为实序列,则可以通过以下两种方法实现对)(nx的零相位过滤。(a)按以下三步进行,如图P9.5(a)所示。(b)按以下三步进行,如图P9.5(b)所示。分别对以上两种方法求出从输入)(nx到输出)(ny的整个系统的系统函数,单位脉冲响应,并证明该系统具有零相位特性。(1))(nx)(ng(1))(nx)(ng(2))(ng)(nr(2))(nx)(nr(3))()(nrny(3))()()(nrngny(a)(b)图P9.5解:(a)由图P9.5(a)可知:)()()(HXG又)(ng的傅立叶变换为)(G)(nr的傅立叶变换为)()()()()()(HHXHGR)()()()()(HHXRY又)(nh为实序列,则:2*)()()()()()(HXHHXY故系统函数为:21)()(HH单位冲激响应为:)(*)()(1nhnhnh,它具有零相位特性。)(nh)(nh)(nh)(nh)(H)()()(twtstx)()(tsty(b)由图P9.5(b)可知:)()()(HXG)()()(HXR)]()()[()()()(HHXRGY又)(nh为实序列,则)()(*HH:)}(Re{2)()()()()(*2HHHHHH这表明复合滤波器具有零相位特性。故系统函数为:21)()(HH单位冲激响应为:)()()(2nhnhnh。9.6频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠,则用滤波器就可达到目的。然而,当频谱有重叠时,把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法,这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的信号。设)(tx是一个复合信号,)()()(twtstx。我们希望设计一个LTI滤波器,从)(tx中分离出)(ts,如图P9.6(a)所示。也就是说,滤波器的频率响应)(H应使)(ty是对)(ts较好的近似。假定用)(作为)(ty与)(ts之间误差的度量,定义为2)()()(YS其中)(S和)(Y分别是)(ts和)(ty的傅立叶变换。(a)用)(S,)(H和)(W表示)(。其中)]([)(twFW。(b)限定)(H为实函数,因此)()(*HH。通过使)(对)(H的导数为零,确定使误差)(为最小的)(H。(c)证明:如果)(S和)(W不重叠,则(b)中的结果就变为一个理想滤波器。(d)如果)(S与)(W如图P9.6(b)所示,根据(b)的结果,确定并概略画出)(H。(a)(b)图P9.6(a)由图p9.6(a)可得:)()]()([)()()(HWSHXY故有:)()]()([)()()(HWSSYS22)()]()([)()()()(HWSSYS(b))()]}()()[(Re{2)()()()()(*222HWSSWSHS=)}]()(Re{)()[(2)()()()(*2222WSSHWSHS令:0)()(H得:0)}]()(Re{)([2)()()(2*22WSSWSH2*2)()()}()(Re{)()(WSWSSH如果在某一个频率0处有0)()(00WS,则此时0)(0X,从而有0)(0Y。对此频率来说,)(0H可以取任意值。(c)如果)(S和)(W不重叠,则0)()(WS。设)(S在区域A为非零,)(W在区域B非零,则:1-220)(S)(W-1110当A时,0)(,0)(WS;当B时,0)(,0)(WS。在此情况下,)(H具有如下特性:当0)(,0)(WS时,1)()()(22SSH;当0)(,0)(WS时,0)(H;当0)(,0)(WS时,)(H可为任意值,当然可以规定为0)(H。由以上讨论可见,)(H在)(S与)(W不重叠时,具有理想滤波器特性。(d)根据图p9.6(b)和(b)的结果可得:202121111{)(H9.7题9.6讨论了当两个信号的频谱有重叠时,为了从加性信号中分离出一个信号,选择连续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试对离散时间的情况,导出与题9.6(b)中所得结果相对应的结果。分别用)(S,)(W,)(H,)(Y和)(代替题9.6中的)(S,)(W,)(H,)(Y和)(有:)()]()([)()()(HWSHXY)()]()([)()()(HWSSYS2)()]()([)()(HWSS假定)(H为实函数,相应有:)}]()(Re{)()[(2)()()()()(*2222WSSHWSHS-2-101210.5)(H令0)()(H,得:2*2)()()}()(Re{)()(WSWSSH同样,如果在某一个频率0处有0)()(WS,则此时0)(X,从而有0)(0Y。对此频率来说,)(0H可以取任意值。9.8在许多滤波器应用中,往往不希望滤波器的阶跃响应出现过冲。例如图象处理中,滤波器阶跃响应的过冲会产生图象轮廓的勾边现象。当滤波器的冲激响应始终非负时,可以消除过冲现象。(a)证明:如果连续时间滤波器的)(th始终大于或等于零,即0)(th,则该滤波器的阶跃响应是单调非减的函数,因而不会发生过冲。(b)证明:如果离散时间滤波器的单位脉冲响应总大于或等于零,即0)(nh,则其阶跃响应是单调非减的函数,因而不会发生过冲。解:(a)设)(ts为连续时间LTI滤波器的阶跃响应,则有:dttdsth)()(因此,当0)(th时,有0)(dttds,这表明)(ts是单调非减的函数,因而不会发生过冲。(b)设)(ns为离散时间LTI滤波器的阶跃响应,则有:)1()()(nsnsnh因此,当0)(nh时,有0)1()(nsns,这表明)(ns是单调非减的函数,因而不会发生过冲。9.9对因果的离散时间LTI系统,试推导出其频率响应的实部和虚部之间的依从关系。即离散时间的实部与虚部自满关系。解:设因果系统的单位脉冲响应为)(nh,则根据系统的因果性,有:)()()(nunhnh对上式两边同时取傅立叶变换,有:dkeeHeHkjjj2)(])2(11)[(21)(整理后有:2)(11)(1)(deeHeHjjj令:IRjjHHeH)(,带入上式并整理后有:22)2(21)2(21dctgHHjdctgHHjHHRIIRIR所以:22)2(21;)2(21dctgHHHdctgHHHRIIIRR9.10对图P9.1所示归一化滤波电路,分别求出其去归一化的实际元件参数,已知工作频率sradc/106,负载电阻KR10。解:由公式9.24,9.26,9.28得实际阻抗和归一化阻抗,实际感抗和归一化感抗,实际容抗和归一化容抗间满足如下关系:CCRCLLRLkRRRRcc9000101,001.0),((a)kRFCHLL1,3/10*4,0015.0921;(b)kRFCHLFCL1,10*5.0,3004.0,10

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