信号与线性系统题解--阎鸿森-第七-八章

信号与线性系统题解阎鸿森第七章习题答案1.用定义求下列信号的z变换及收敛域。(a)1210()()()()XzXzXzXzzaz右左＝1()(2)2nn(b)()(3)unun(c)1()(2)2nun(d)1()()2nun(f)()aneun(g)2,1,2,3()1,40,0nnxnnn(h)2,1,2,3()1,03nnxnn解：(a)211[()(2)]1,022nnnnzzz除去或|z|=的全部z(b)4111011zzzz，收敛域(c)211,0||1212zzzz(d)11.||1212zzz(e)11112.||2,||1121122zzzzz(f)11,||1aazeez(g)43212311449.||11nnnnznzzzzzzz(h)111112,||11321123zzzz2.信号x(n)的z变换的零极点如图P7.2所示，试确定满足下述情况的x(n)：(a)x(n)为左边序列；(b)x(n)为右边序列；(c)x(n)为右边序列；解：(a)111111122()3131(1)(1)112223zxzzzzz113()[()(1)()(1)]222nnxnunun(b)113()[()()()()]222nnxnunun(c)113()[()(1)()()]222nnxnunun3.根据单位阶跃信号u(n)的z变换11(),||11Uzzz，利用z变换的性质。(1)求下列信号的z变换及收敛域。(2)画出零极点图，并标出收敛域。(a)()(4)unun(b)1[1(1)]()2nun(c)1()()2nun(d)(1)()nun(e)(1)()nnun(f)2(1)(1)nun(g)0(1)ineun(h)(1)(1)nnun(i)()aneun(j)0j()neun(k)()(),||1nnauna(l)1()nnrun(m)21()(),||1nanunan(n)20nkk解：(a)411,||11zzz(b)10,()1n1nxzz为偶数，|z|0，为奇数(c)11(),||212xzzz(d)11211,||1(1)1zzzz(e)112,||1(1)zzz(f)221234112121'31243()(),()(),()(),()(1)(1)()()(1)1()()(1)11()(1)xnunxnnunxnnunxnnundXzzXzzdxzzzXzzzzzzXzz(g)00jj1,||11zezze(h)2333()(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)xnnunnunzzzzzXzzzz(i)1(),||1aazXzzeez(j)0j1(),||11zXzzez(k)211(),||(1)1zXzzazaz(l)令1111(),()nnnxnaXzaznn'1010()1()1111nnnnnndXzazdznazzzaz111()ln()(1)Xzdzzazaz2()ln()(1)zXzzaz(n)(1)(21)()6nnnxn323276(),||16(1)zzzXzzz4.如果X(z)代表x(n)的z变换，R代表它的收敛域，试用X(z)和R确定下面每个序列y(n)的z变换和响应的收敛域：解:(a)*1()(),0,()YzXzzRz收敛域(b)*1()()(),0,2XzXzYzzzR(c)1(),01Xzzz(d)11(),||11mzYzRzz(e)11()(),{||1}{||}(1)(1)XzYzRzzazaz(f)1()(),||{||}1zXaYzaRzaaz(g)2,zR(h),nzR5.已知因果序列x(n)的z变换X(z)，求序列x(n)的初值与终值。解：(a)121()11.50.5Xzzz1(0)lim{}1,()lim(1)()2zzXXzXzXz(b)12111()(1)(112)zzXzzz(0)1,()6xx(c)121223()11166zzXzzz(0)2,()0xx(d)12111()(1)(112)zzXzzz(0)1,()2xx6.用z变换证明以下各等式：(a)[()]*[()](1)()nnnaunaunnaun证明：两边取z变换，则左边的z变换＝121z(1)az右边的变换(b)n112[u(n)]*[u(n)]=u(n)n!n!n!2,zze12z左右121X(z)=(e)X(z)＝e(c)121212[()*()]()*[()][()]*()nxnxnxnnxnnxnxn''1212212()()()(),()()()()zXzXzzXzXzdXzdXzzXzdzdz12左1右d(X(z)X(z))X(z)=-zdzX(z)＝-zX(z)(d)1212[()]*[()][()*()]nnnaxnaxnaxnxn1112()()()XzXazXaz左＝1210()()()()XzXzXzXzzaz右左＝7.用幂级数展开法求下列各式的z反变换，计算前4个非零取样值。(a)111,||1212zz(b)2121,||2168zzzz(c)12121,||2132zzzzz(d)1121112,||314148zzzz解：(a)111,||1212zz1()()[]2nxnun(b)11()3()(1)2()()23nnxnunun1()(2)(1)(4)(1)2(4)(1)2nnnxnununun(c)11112()112zXzzz1()()(2)(1)2(2)()nnxnununun(d)11()[4()3()]()24nnxnun8.先对()Xz微分，再利用z变换的性质，确定下列()Xz的反变换。(a)1()ln(12),||2Xzzz()212dXzdzz1()1112dXzzdzz而()()dXzznxndz11()()(1)2nxnunn(b)11()()(1)2nxnunn9.对题7.8中的()Xz，利用幂级数展开式1ln(1),||1kkxxxk，确定其z反变换。解：(a)2()(1)nxnunn(b)2()(1)nxnunn10.试用部分分式展开法求以下各式的z反变换。(a)111,||1212zz1()()()2nxnun(b)121112,||1214zzz1()()()2nxnun(c)1121,||1312122zzzz1()2(1)2()()2nxnunun(d)121,||1132zzz1()(1)(1)2(1)nnxnunun(e)11111,||1132(1)(1)23zzz11()3()(1)2()()23nnxnunun(f)111(),()()()1212nHzhnunz11201,||112coszzzz112213535()()()()(1)(1)()(1)(1)(2)25653135()()(2)(1)(3)256nnnnnnxnunununununun(g)121212,0.6||110.40.6zzzzz(h)121112,||0.8(10.8)(10.4)(10.6)zzzzzz()5(0.8)()2(0.4)()7(0.6)()nnnxnununun11.z变换X(Z)为111()14(1)(1)33Xzzz(a)确定与X(z)有关的所有可能的收敛域；(b)求每种收敛域对应的离散时间序列；(c)以上哪种序列存在离散时间傅立叶变换。解：(a)可能的收敛域4114||,||,||3333zzz(b)41144||,()()()()()35353nnzxnunun11144||,()()(1)()(1)35353nnzxnunun141144||,()()()()(1)335353nnzxnunun(c)当14||33z12.对下列差分方程所描述的LTI因果系统，求系统的系统函数及单位脉冲响应。(a)1()(1)()2ynynxn(b)()2(1)2(2)(1)2(2)ynynynxnxn(c)()5(1)6(2)()3(2)ynynynxnxn(d)()3(1)3(2)(3)()(2)(3)ynynynynxnxnxn解：(a)111(),()()()1212nHzhnunz(b)21212()122zHzzz(c)21213()156zHzzz112()(2)()3()3(2)(2)3(2)nnnnhnunununun(d)23131()(1)zzHzz31(1)(2)(1)()(1)2nnnunz3(1)(1)(1)()(1)()(1)(2)22(2)(1)(1)(3)2nnnnnnnhnununnnun13.画出系统函数1123()512zHzzz的零极点图，写出与下列情况所对应的收敛域，并求出相应的单位脉冲响应h(n).(a)系统是因果的；(b)系统为反因果的；(c)系统是稳定的。解：1121()11212Hzzz(a)11()2()()()2nnxnunun(b)11()2(1)()(1)2nnxnunun(c)11()2(1)()(1)2nnxnunun14.一个输入为x(n)，输出为y(n)的离散时间LTI系统，满足差分方程311()(1)(2)()(1)482ynynynxnxn求满足该方程的所有可能的单位脉冲响应，并指出它们的因果性与稳定性。解：1121111342()31111114842zHzzzzz当1||2z因果，稳定。11()3()()4()()42nnxnunun当11||42z。不因果，稳定。11()3()()4()(1)42nnxnunun当1||4z，反因果，不稳定。11()3()(1)4()(1)42nnxnunun15.某离散时间LTI系统，当输入13()()4xnun，对应的响应111()[()1]()3nynun，若输入21()[()(1)]()2nnxnun，问此时2()?yn解：1221111733()16882()()()()11()2711132YzXzHzXzXzzzz21671313()[()()()()()(1)()]2783228nnnynununun7．16对差分方程)1(21)()2(61)1