八年级数学第四周拓展训练(全等、线段的垂直平分线)

1八年级数学第四周拓展训练（2017.9.23）一、知识概览：1.全等三角形的判定方法：ASA，AAS，SAS，SSS，HL。2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。具体用法：3.利用对称点求最值：①将军饮马或修建泵站问题：关键是确定一条对称轴——即“河流”（如图1）．古希腊有一位著名学者海伦，一天有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A地出发到河边饮马，然后再到B军营视察，显然有许多走法，问怎样才能使所走的路线最短？精通数理的海伦稍加思索，便做了完善的解答，这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。②桌球的两次碰壁或光的两次反射问题：关键是确定两条对称轴——即“反射镜面”（如图2）．③两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边——即当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边长（如图3）．4.注意“分类讨论”和“典型问题的变化”二、例题评析：例1.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B的度数为______．练.等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C=度。例2.如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在边AB上，且AE＝4cm，（1）如果点P在线段BC上以2cm／s的速度由B点向C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE≌△.②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为________cm/s时，在某一时刻也能够使△BPE与△CQP全等．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD的四条边运动．求经过多少秒后，点P与点Q第一次相遇，并写出第一次相遇点在何处？∵MN垂直平分AB∴PA=PBPABMNPQAB∵PA=PB，QA=QB∴PQ垂直平分ABABA’ABCDQEP2练.如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度--（）A．4B．5C．6D．BP的长度随B点的运动而变化例3.（漳州）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．练.如图，∠AOB=30°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值．三、巩固练习：1.如图，在2×3的正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，则格纸中所有与△ABC成轴对称，且以格点为顶点的三角形共有------------------------------------------------------------（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图在3×3的正方形网格中，已知两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方案有几种-------------------------------------------------（）A.4种B.5种C.6种D.7种3.(深圳)如图，已知⊿ABC，ABBC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是------------------------------------------------------------------------------（）4.（济宁）如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长为---------------------------------------（）A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm5.（聊城）如图，点P是∠AOB外的一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为-----------------------------------------------------------------------------（）A.4.5cmB.5.5cmC.6.5cmD.7cm第3题ml第5题第6题第7题第1题第2题AOFBPMEABCDM。第1题第2题例3练练36.（仙桃）如图△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为--------------------------------------（）A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm7.（台湾）如图，锐角△ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m为∠ABC的角平分线，l与m交于点P，若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为------------------------------------------（）A.24B.30C.32D.368.如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是------------------------------------------------------------------（）9.如图所示，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M处于同一水平线．有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有------------------------------（）A.B、C、DB.A、B、DC.A、B、CD.A、B、C、D10.如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是-------------（）A.h1＞h2B.h1＜h2C.h1=h2D.无法确定11.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．则BECD（填“”、“”或“”）；（2）如图2，连接DE交AB于点F．则EFFD（填“”、“”或“”）；请证明你的结论．BLABMLABMLAMMBALABCD第8题NDACBOM第9题第10题412.数学课上，老师出示了如下框中的题目．小聪与同桌小明讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况·探索结论当E为AB中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE___DB（填＞，＜，＝）．（2）特例启发·解答题目解：当E不是AB中点时，猜想AE与DB的大小关系是：AE_____DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论·设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为2，AE＝1，则CD=．