高中数学知识点总结

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网1高中数学知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合，，，、、AxyxByyxCxyyxABC|lg|lg(,)|lg中元素各表示什么？2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合，AxxxBxax||22301若，则实数的值构成的集合为BAa（答：，，）10133.注意下列性质：（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212aaann（）若，；2ABABAABB（3）德摩根定律：CCCCCCUUUUUUABABABAB，4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa50352的取值范围。（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522MaaMaaa中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网25.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()“非”().若为真，当且仅当、均为真pqpq若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq若为真，当且仅当为假pp6.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，，，）02233410.如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，，，则函数的定fxabbaF(xfxfx())()()0义域是_____________。（答：，）aa11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：，求fxexfxx1().令，则txt10∴xt21中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网3∴ftett()2121∴fxexxx()2121012.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）如：求函数的反函数fxxxxx()1002（答：）fxxxxx1110()13.反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf1()baffafbaffbfab111()()()()，14.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（，，则（外层）（内层）yfuuxyfx()()()当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）fxfx()()如：求的单调区间yxxlog1222（设，由则uxxux22002且，，如图：log12211uux中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网4uO12x当，时，，又，∴xuuy(]log0112当，时，，又，∴xuuy[)log1212∴……）15.如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxfx'()()0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx'()0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afxxaxa013()值是（）A.0B.1C.2D.3（令fxxaxaxa'()333302则或xaxa33由已知在，上为增函数，则，即fxaa()[)1313∴a的最大值为3）16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网5若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()()注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若·为奇函数，则实数fxaaaxx()2221（∵为奇函数，，又，∴fxxRRf()()000即·，∴）aaa22210100又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，fxxfxxx()()()()1101241求在，上的解析式。fx()11（令，，则，，xxfxxx1001241()又为奇函数，∴fxfxxxxx()()241214又，∴，，）ffxxxxxxxx()()()002411002410117.你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx0()()函数，T是一个周期。）中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网6如：若，则fxafx()（答：是周期函数，为的一个周期）fxTafx()()2又如：若图象有两条对称轴，fxxaxb()即，faxfaxfbxfbx()()()()则是周期函数，为一个周期fxab()2如：18.你掌握常用的图象变换了吗？fxfxy()()与的图象关于轴对称fxfxx()()与的图象关于轴对称fxfx()()与的图象关于原点对称fxfxyx()()与的图象关于直线对称1fxfaxxa()()与的图象关于直线对称2fxfaxa()()()与的图象关于点，对称20将图象左移个单位右移个单位yfxaaaayfxayfxa()()()()()00中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网7上移个单位下移个单位bbbbyfxabyfxab()()()()00注意如下“翻折”变换：fxfxfxfx()()()(||)如：fxx()log21作出及的图象yxyxloglog2211yy=log2xO1x19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0)y(k0)y=bO’(a,b)Oxx=a（）一次函数：10ykxbk（）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakOab'()的双曲线。中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网8（）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxcaaxbaacba顶点坐标为，，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()②求闭区间［m，n］上的最值。③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakfk20020()y(a0)Okx1x2x一根大于，一根小于kkfk()0中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网9（）指数函数：，401yaaax（）对数函数，501yxaaalog由图象记性质！（注意底数的限定！）yy=ax(a1)(0a1)y=logax(a1)1O1x(0a1)（）“对勾函数”60yxkxk利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？yOxkk20.你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：，aaaaapp01010(())aaaaaamnmnmnmn((010))，对数运算：·，logloglogaaaMNMNMN00logloglogloglogaaaanaMNMNMnM，1中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网10对数恒等式：axaxlog对数换底公式：logloglogloglogaccanabbabnmbm21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（），满足，证明为奇函数。1xRfxfxyfxfyfx()()()()()（先令再令，……）xyfyx000()（），满足，证明是偶函数。2xRfxfxyfxfyfx()()()()()（先令·xytfttftt()()()∴ftftftft()()()()∴……）ftft()()（）证明单调性：……32212fxfxxx()22.掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：（）123134yxx（）2243yxx（），33232xyxx（）设，，449302yxxxcos（），，54901yxxx(]23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网11吗？（·，··）扇llRSRR12122OR1弧度R24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sincostanMPOMAT，，yTAxαBSOMP如：若，则，，的大小顺序是80sincostan又如：求函数的定义域和值域。yx122cos（∵）122120cossinxx∴，如图：sinx22中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网12∴，25424012kxkkZy25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？sincosxx11，yxO22ytgx对称点为，，kkZ20中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网13yxkkkZsin的增区间为，2222减区间为，22232kkkZ图象的对称点为，，对称轴为kxkkZ02yxkkkZcos的增区间为，22减区间为，222kkkZ图象的对称点为，，对称轴为kxkkZ20yxkkkZtan的增区间为，2226.y=Asinx+正弦型函数的图象和性质要熟记。或yAxcos（）振幅，周期12||||AT若，则为对称轴。fxAxx00若，则，为对称点，反之也对。fxx0