第三章-点、线、面的投影

第三章点、线、面的投影学习目标与要求：本章主要介绍立体表面点、直线、平面投影的基本概念及其投影特性。通过学习,应该达到以下要求:1.掌握点的类型、投影特性和两点的相对位置,了解重影点概念。2.掌握直线的类型、投影特性。3.掌握平面的表示方法及其投影特性。点、线、面的符号规定空间形体上的点用大写字母A、B、C…表示，其H面投影用相应的a、b、c…表示，V面投影用相应的a′、b′、c′表示，W面投影用a〞、b〞、c〞。投影图中直线段的标注，用直线段两端的字母表示。空间的面通常用P、Q、R…表示。第一节点的投影任一形体都可视为由点、线、面所组成，其中点是最基本的几何元素。一、点的三面投影及其规律空间点A放置在三面投影体系中，过点A作垂直于H面、V面、W面的投影线AHVOXYZaaaxa'ayazWaaa'OXYHZYW点的三面投影图axayazayaaa'OXYHZYW点的投影规律axayazay水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴（长对正）；正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（高平齐）；水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（宽相等）。可得出点的投影特性如下：（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。一般只画出投影轴，不画投影面的边框【例3-1】已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″解:作图步骤如下二、点的投影与坐标H面：a(x,y)V面：a′(x,z)W面：a〞(y,z)1、投影与坐标引入直角坐标系的概念，点A的空间位置可用直角坐标表示为A（x，y，z），其中x表示A点到W面的距离，y表示A点到V面的距离，z表示A点到H面的距离。【例3-2】已知点A(14,10，20)，作其三面投影图。解:作图步骤如下（1）方法一（2）方法二2．特殊位置点的投影（1）投影面上的点（2）投影轴上的点三、两点的相对位置空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的前或后、左或右、上或下。空间两点的相对位置用坐标来表示：X坐标大者在左，小者在右；Y坐标大者在前，小者在后；Z坐标大者在上，小者在下。如果已知两点的相对位置，以及其中一点的投影，也可以作出另一点的投影。在投影面的重影点H面的重影点W面的重影点V面的重影点重影：当两个点处于某一投影面的同一条投射线上，则两个点在这个投影面上的投影便互相重合。直观图投影图重影的特性：如图所示：点A在点B的正上方，则其在H面上的投影a和b重合，A、B点即为H面的重影点。由于A点在上，B点在下，向H面投影时，投射线先遇点A，后遇点B，所以点A的投影a可见，点B的投影b不可见。因此为了区别重影点的可见性，将不可见点的投影用字母加括号表示，即为a(b)。则它们的X、Y坐标相同，Z坐标不同。VHXOBAa'b'ab由于直线的投影一般情况下仍为直线，且两点决定一直线，故要获得直线的投影，只需作出已知直线上的两个点的投影，再将它们相连即可。第二节直线的投影按直线与三个投影面之间的相对位置，将直线分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线。前两类统称为特殊位置直线。直线与投影面垂直直线与投影面平行直线与投影面倾斜直线的分类定义：平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。水平线——平行于H面，同时倾斜于V、W面的直线。正平线——平行于V面，同时倾斜于H、W面的直线。侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。一、投影面平行线分类：ABVWHXYZO水平线（平行H面，同时倾斜于V、W面的直线）aababbXababbaOZYHYW水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴VWHXYZOAB正平线（平行V面，同时倾斜于H、W面的直线）aababb正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴XababbaOZYHYWVWHXYZOAB侧平线（平行W面，同时倾斜于H、V面的直线）aababb侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴bXZabbaOYHYWa投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映直线与另两个投影面的倾角。（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。如图所示：直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直线对H面、V面、W面的倾角分别用希腊字母α、β、γ标记。定义：垂直于一个投影面。二、投影面垂直线分类：铅垂线——垂直于H面，同时平行于V、W面的直线。正垂线——垂直于V面，同时平行于H、W面的直线。侧垂线——垂直于W面，同时平行于H、V面的直线。VWHXYZOAB铅垂线（垂直于H面，同时平行于V、W面的直线）ZbXaba(b)OYHYWaba(b)aab1.ab积聚为一点;2.a'b'∥a″b″∥OZ;3.a'b'=a″b″=AB特性：VWHXYZOAB正垂线（垂直于V面，同时平行于H、W面的直线）ZX(a)bbaOYHYWabbababa1.c'd'积聚为一点2.cd∥OYH,c″d″∥OYW3.cd=c″d″=CD特性：VWXYZOABH侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）baababYWZXa(b)baOYHab1.e″f″积聚为一点2.ef∥e'f'∥OX3.ef=e'f'=EF特性：投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；（2）直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂直于积聚投影所在的投影面。【例3-3】已知直线AB的水平投影ab,AB对H面的倾角为30°,端点A距水平面的距离为10,A点在B点的左下方,求AB的正面投影a'b',如图3-8a所示。图3-8作正平线的V投影解:(1)作图分析由已知条件可知,AB的水平投影ab平行于OX轴,因而AB是正平线,正平线的正面投影与OX轴的夹角反映直线与H面的倾角。A点到水平面的距离等于其正面投影a‘到OX轴的距离,从而先求出a’。(2)作图步骤1)过a作OX轴的垂线aaX,在aaX的延长线上截取a‘aX=10,如图3-8b所示。2)过a'作与OX轴成30°的直线,与过b作OX轴垂线bbX的延长线相交,因A点在B点的左下方,故所得交点即为b',连接a'b'即为所求,如图3-8c所示。ABVWHXYZO三、一般位置直线定义：对三个投影面都倾斜（既不平行又不垂直）的直线。ZXabaOYHYWabbbbabaa一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性：1）一般线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴,其投影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角。2）三个投影的长度都小于实长。事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。例题：用直角三角形法求一般位置直线的实长与倾角。如图3-10a所示,AB为一般位置直线,在AB与其水平投影ab所决定的平面ABba内,过点A作AB1∥ab,与Bb相交于B1,由于Bb⊥ab,所以AB1⊥BB1,△ABB1为直角三角形。该直角三角形的斜边是一般线AB本身,∠BAB1=α是AB对H面的倾角,直角边AB1等于ab,另一直角边BB1是A、B两点到H面的距离差ZB-ZA,如果能作出△ABB1,便可以求出一般线AB的实长和倾角。在图3-10b中,AB的水平投影ab已知,以ab为一直角边,以A、B高度的差值(即ZB-ZA:在投影图中,过a‘作一水平线,与连线bb’相交于b1‘,b’b1‘即为ZB-ZA)为另一直角边,作直角三角形(符号为△)abB0,△abB0≌△ABB1,aB0即为一般线AB的实长,∠baB0为直线AB与H面的倾角α。同理,求AB对V面的倾角β,可以a'b'作一直角边,A、B两点的y坐标差YA-YB(即a、b前后方向的距离差,可在水平投影中找出)为另一直角边,在V投影上作△A0a'b',△A0a'b'≌△ABA1,0b'即为一般线AB的实长,∠A0b'a'为直线AB与V面的倾角β,如图3-10c所示。第三节平面的投影一、平面的表示方法二、各种位置平面的投影一、平面的表示方法1、用几何元素表示平面平面的空间位置，可用下列任何一组几何元素来表示。（1）不在同一直线上的三点[A、B、C]最基本的表示方法（2）一直线和该直线外一点[BC、A]（3）相交两直线[AB×AC]（4）平行两直线[AB//CD]（5）平面图形[△ABC]不但能确平面的位置，而且能表示平面的形状和大小。2、用迹线表示平面迹线：平面与投影面的交线。迹线平面：用迹线来表示的平面。水平迹线：P平面与H面的交线，用PH表示正面迹线：P平面与V面的交线，用PV表示侧面迹线：P平面与W面的交线，用PW表示用迹线表示平面一般情况下，相邻两条迹线相交于投影轴上，它们的交点也就是平面与投影轴的交点。分别用Px，Py，Pz来表示。三条迹线的任意两条就可以确定平面的空间位置。迹线的投影及其表示：由于迹线位于投影面上，它的一个投影与自身重合，另外两个投影与投影轴重合，通常用只画出与自身重合的投影并加标记的办法来表示迹线，凡是与投影轴重合的投影均不标记。二、各种位置平面的投影空间平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面平面的投影平面之投影：平面与投影面之相对位置的不同，而有下列三种情形：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1.投影面平行面对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。水平面——平行于H面，同时垂直于V、W的平面正平面——平行于V面，同时垂直于H、W的平面侧平面——平行于W面，同时垂直于H、V的平面VXHWYZO（1）水平面p'pp1、水平投影p反映实形；2、正面投影p′和侧面投影p〞积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。XYWZOYHp'ppP（1）迹线平面1、无水平迹线；2、Pv//OX轴，Pw//OYw轴，有积聚性。VXHWYZO（2）正平面1、正面投影q′反映实形；2、水平投影q和侧面投影q〞积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。qq'qXYWZOYHqq'qQ（2）迹线平面1、无正面迹线；2、QH//OX轴，Qw//OZ轴，有积聚性。VXHWZOY（3）侧平面rr'r1、侧面投影r〞反映实形；2、水平投影r和正面投影r′积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。XYWZYHOrr'rQ（3）迹线平面1、无侧面迹线；2、RH//OYH轴，RV//OZ轴，有积聚性。总结投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。2.投影面垂直面垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。铅垂面——垂直于H面，同时倾斜于V、W的平面正垂面——垂直于V面，同时倾斜于H、W的平面侧垂面——垂直于W面，同时倾斜于H、V的平面VXHWZOYXZOYHYWβγ（1）铅垂面1、水平投影积聚为一直线，并反映对V、W面的倾角β、γ的实形；2、正面投影p′和侧面投影p″均不反映实形且变小。βγβγPp′p′p″p（1）迹线平面1.PH有积聚性,它与OX轴的夹角反映β;它与OYH的夹角反映γ2.PV⊥OX轴PW⊥OYW轴VXHWZOY（2）正垂面1.正面投影q'积聚为一直线,并反映对H、W面的倾角α、γ2.水平投影q和侧面投