二项式定理公开课教案

-1-二项式定理公开课教案1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点：二项式定理的发现。三、教学过程1、情景设置问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。问题2：若今天是星期一，再过)(8Nnn天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“nn)17(8被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(Nnban的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授第一步：让学生展开baba1)(2222)(bababa；32232333)()()(babbaabababa；43223434464)()()(babbabaabababa5432234555510105)()()(babbababaabababa教师将以上各展开式的系数整理成如下模型1112113311464115101051问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2：以5)(ba的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。-2-初步归纳出下式：nnnnnnbbababaaba33221)(（※）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7)(ba教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑如何展开100)(ba以及)()(Nnban呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4bababababa中第一个括号中的字母分别记成11,ba；第二个括号中的字母分别记成22,ba；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114bababababa4321aaaa………4a1432243134214321baaabaaabaaabaaa………ba3214331424132324142314321bbaabbaabbaabbaabbaabbaa………22ba3214421343124321bbbabbbabbbabbba………3ab4321bbbb………4b（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）问题1：以22ba项为例，有几种情况相乘均可得到22ba项？这里的字母ba,各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母ba,分别来自4个不同的括号，22ba项的系数你能用组合数来表示吗？-3-问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘，问不同的取法有几种？）问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：4322344))()()(()(babbabaabababababa括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。呈现二项式定理——板书课题：)()(222110NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn。3、深化认识请学生总结：①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）4、巩固应用【例1】展开①4)11(x②6)12(xx【例2】①求7)21(x的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。②求9)1(xx的展开式中含3x项的系数。变式：在二项式定理中，令xba,1，得到怎样的公式？nnnrrnnnnxCxCxCxCx2211)1(思考：?210nnrnnnnCCCCC为什么？-4-?21nnrnnnCCCC【例3】解决起始问题：nnnnnnnnnnCCCC777)17(81110，前面是7的倍数，因此余数为1nnC，故应该为星期二。说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。四、课堂小结①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。②二项式定理的表达式以及展开式的通项，③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。二项式定理由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；从上述过程中可以发现，(a+b)n是n个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)相乘时有两个选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。探索(a+b)4的展开式的形式。4个括号中取a和取b的个数和为4，即每一项的形式是a4-kbk，（1）k=0时，a4-kbk=a4，四个括号中全都取a，相当于取0个b，有C40项a4，即a4的系数为得：C40；（2）k=1时，四个括号中有1个取b，剩下的3个取a，得：C41a3·C33b（3）k=1时，四个括号中有2个取b，剩下的2个取a，得：C42a2·C22b2（4）k=3时，四个括号中有3个取b，剩下的1个取a，得：C43a·C11b3（5）k=4时，四个括号中全都取b，得：C44b4(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4(a+b)n的展开式又是什么呢？猜想：)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，⑴不取b：Cn0an；⑵取1个b：Cn1an-1b；⑶取2个b：Cn1an-2b2；………………(k+1)取k个b：Cnkan-kbk；-5-………………(n+1)取n个b：Cnnbn；然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+knCan-kbk+…+nnCbn(n∈N+)这就是二项式定理。它有n+1项，各项的系数(0,1,)rnCrn叫二项式系数，rnrrnCab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第k+1项：1rnrrrnTCab．二项式定理中，设1,abx，则1(1)1nrrnnnxCxCxx你怎么记忆这个公式？①项数:共n+1项,是关于a与b的n次齐次多项式；②指数:a的指数从n逐项递减到0，是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。例1求61(2)xx的展开式．解：66311(2)(21)xxxx61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]xCxCxCxCxCxx32236012164192240160xxxxxx．例2（1）求7(12)x的展开式的第4项的系数；（2）求91()xx的展开式中x3的系数及二项式系数奎屯王新敞新疆解：(1+2x)7的展开式的第四项是333317(2)280TCxx，∴(1+2x)7的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()xx的展开式的通项是9921991()(1)rrrrrrrTCxCxx，∴9-2r=3,r=3，∴x3的系数339(1)84C，x3的二项式系数3984C．-6-例3．⑴求12()xa的展开式中的倒数第4项；⑵求93()3xx的展开式常数项；解：⑴12()xa的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220TCxaCxaxa．⑵∵3992921993()()33rrrrrrrxTCCxx，∴当390,62rr时展开式是常数项，即常数项为637932268TC；“杨辉三角”1)(ba…………………………………112)(ba………………………………1213)(ba……………………………13314)(ba…………………………146415)(ba………………………151010516)(ba……………………1615201561这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。“杨辉三角”的特征：⑴表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。⑵设表中不为1的数Crn+1,那么它肩上的两个数分别为Cnn-1，Cnr，所以Crn+1=Cnn-1+Cnr。⑶《详解九章算术》中的“杨辉三角”如右图。二项式系数的性质nba)(展开式的二项式系数依次是nnnnnC,,C,C,C210-7-从函数角度看，rnC可看成是以r为自变量的函数f(x)，其定义域是n,,2,1,0，对于确定的n，还可以画出它的图象；例如，当n=6时，其图象是7个孤立的点（如图）⑴对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mnmnnCC）．直线2nr是图象的对称轴．⑵增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kknnnnnnknkCCkk，∴knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，当12nk时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值．⑶各二项式系数和：∵1(1)1nrrnnnxCxCxx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC