0506年上学期高一同步优化训练数学第三章数列1B卷附答案

海量资源尽在星星文库：第三章数列(一)●知识网络●范题精讲一、等差数列的概念、通项公式【例1】等差数列{an}的前n项和记为Sn．.已知a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.分析：在等差数列中，有a1、an、n、d、Sn五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.解：(1)由an=a1+(n－1)d,a10=30,a20=50,得方程组.5019,30911dada解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(2)由Sn=na1+2)1(nnd,Sn=242,得方程12n+2)1(nn×2=242.解得n=11或n=－22(舍去).评注：本题是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.二、等差数列性质的应用【例2】已知等差数列{an}为等差数列，p≠q,ap=q,aq=p,求ap+q.分析：可先转化为a1和d去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.解法一：.)1(,)1(11pdqaaqdpaaqp相减得(p－q)d=q－p,∵p≠q,∴d=－1.代入①,得a1=p+q－1.故ap+q=a1+(p+q－1)d=0.解法二：ap=aq+(p－q)d,∴q=p+(p－q)d,以下同解法一.解法三：不妨设pq,由于an为关于n的一次函数图象上均匀排列的一群孤立点.故(p,ap)、(q,aq)、(p+q,ap+q)三点在同一直线上，如图.①②海量资源尽在星星文库：(,)pqB(,)qpC(+,)qpmEF由△ABE∽△BCF得(设ap+q=m).)(qqpmppqpq∴1=pmp.设m=0,得ap+q=0.三、等差数列前n项和公式的应用【例3】设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a3=12,S12＞0,S13＜0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,…,S12．中哪一个值最大，并说明理由.(1)解：依题意有0212131302111212113112daSdaS.06,011211dada由a3=12,得a1=12－2d.又030724dd－724＜d＜－3.(2)解法一：由d＜0,可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.由于S12．=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0,即a6+a7＞0,a7＜0,由此得a6＞－a7＞0.故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.解法二：Sn=na1+2)1(nnd=n(12－2d)+21n(n－1)d=2dn2－(25d－12)n=2d［n－21(5－d24)］2－2d［21(5－d24)］2.∵d＜0,∴［n－21(5－d24)］2最小时，Sn最大.海量资源尽在星星文库：当－724＜d＜－3时，6＜21(5－d24)＜6.5.∴n=6时，［n－21(5－d24)］2最小.∴S6最大.解法三：由d＜0,可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.由已知001312SS021213130211121211dada0602511dadda.0,076aa故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.评注：第(2)题用了三种方法来解，解法一与解法三类似，只是确定a6＞0,a7＜0的方法不同，解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.四、数列的应用【例4】某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n年与第(n－1)年(n∈N且n≥2)的产量之间的关系式(不要求证明).(2)由于环境污染及池塘老化等因素，致使每年将损失年产量的10%，这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是，请予以证明；若不是，请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)不妨设改进技术后第n年的产量为an，则a1=a(1+200%)=3a,a2=a1(1+21×200%)=6a,a3=a2(1+221×200%)=9a,a4=a3(1+321×200%)=445a.依此，得an=an－1(1+121n×200%)=an－1［1+(21)n－2］(n∈N*,n≥2).(2)设遭损失后第n年的产量为bn,则b1=a1(1－10%),b2=b1(1+21×200%)(1－10%),…,bn=bn－1［1+(21)n－2］(1－10%).令bn＜bn－1,则0.9［1+(21)n－2］＜12n－2＞9,∴n－2＞2lg9lg,即n＞5.17.由n∈N*知n≥6.海量资源尽在星星文库：年起，产量将不如上一年.评注：这是一道数列型应用题，审题时应抓住从第二年开始，以后每年的增长率是前一年增长率的一半这个关键，把它抽象为数列的通项，容易求出递推关系式an=an－1［1+(21)n－2］(n∈N*且n≥2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题，利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.●试题详解高中同步测控优化训练(十一)第三章数列(一)(A卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.在100至500之间的正整数能被11整除的个数为A.34B.35C.36D.37解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110，121，132，…，它们构成一个等差数列，公差为11，an=110+(n－1)·11=11n+99,由an≤500,解得n≤36.4,n∈N*,∴n≤36.答案：C2.在数列{an}中，a1=1,an+1=an2－1(n≥1),则a1+a2+a3+a4+a5等于A.－1B.1C.0D.2解析：由已知：an+1=an2－1=(an+1)(an－1),∴a2=0,a3=－1,a4=0,a5=－1.答案：A3.若数列{an}的前n项和Sn=n2－2n+3，则此数列的前3项依次为A.－1,1,3B.2,1,3C.6,1,3D.2,3,6解析：当n=1时，a1=S1=12－2×1+3=2;当n=2时，由S2=a1+a2=22－2×2+3,得a2=1;当n=3时，由S3=a1+a2+a3=32－2×3+3,得a3=3.答案：B4.设函数f(x)满足f(n+1)=2)(2nnf(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为A.95B.97C.105D.192解析：f(n+1)－f(n)=2n.1921)19()20(,221)2()3(,121)1()2(ffffff各式相加得f(20)－f(1)=21(1+2+…+19)f(20)=95+f(1)=97.海量资源尽在星星文库：答案：B5.已知等差数列｛an｝中公差d≠0.若n≥2,n∈N*,则A.a1an+1＜a2anB.a1+an+1＞a2+anC.a1+an+1＜a2+anD.a1an+1＞a2an解析：a1an+1－a2an=a1(a1+nd)－(a1+d)［a1+(n－1)d］=－(n－1)d2＜0,∴a1an+1＜a2an.答案：A6.等差数列｛an｝中，a4+a7+a10=57,a4+a5+…+a14=275,ak=61,则k等于A.18B.19C.20D.21解析：∵3a7=a4+a7+a10=57,∴a7=19.由a4+a5+…+a14=275,可得a9=25.∴公差d=3.∵ak=a9+(k－9)·d,∴61=25+(k－9)×3,解得k=21.答案：D7.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为A.180B.－180C.90D.－90解析：由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=－4与a3·a7=－12联立，即a3、a7是方程x2+4x－12=0的两根.又公差d0,∴a7a3a7=2,a3=－6,从而得a1=－10,d=2,S20=180.答案：A8.设Sn是等差数列前n项的和，若9535aa,则59SS等于A.1B.－1C.2D.21解法一：∵,9535aa,∴dada2411=95.∴195592459105369111159dadadadaSS.解法二：∵9535aa,∴.195592259592)(52)(9355191519159aaaaaaaaaaSS答案：A9.已知｛an｝是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是A.(－27,+∞)B.(0,+∞)C.(－2,+∞)D.(－3,+∞)解析：由｛an｝为递增数列得an+1－an=2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n－1在n≥1时恒成立，只需λ＞(－2n－1)max=－3,故选D.海量资源尽在星星文库：答案：D10.在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为A.14B.15C.16D.17解析：S9=2)(991aa=18a1+a9=42(a1+4d)=4.∴a1+4d=2.又an=an－4+4d,∴Sn=2)(1naan=16n=240.∴n=15.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2)13(1na(n∈N*),且a4=54,则a1的值是________.解析：∵a4=S4－S3,∴2)13(2)13(3141aa=54.∴a1=2.答案：212.若数列｛an｝的前n项和Sn=lg［101(1+n)］,则a10+a11+a12+…+a99=_________.解析：a10+a11+…+a99=S99－S9=lg(101·100)－lg(101·10)=1－0=1.答案：113.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______.解析：－21=2)39)(2(n,∴n=5.答案：514.等差数列{an}中，a1+a2+a3=－24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和等于________.解析：由a1+a2+a3=－24,可得3a2=－24;由a18+a19+a20=78,可得3a19=78,即a2=－8,a19=26.∴S20=2)(20201aa=10(a2+a19)=10(－8+26)=180.答案：180三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知数列｛an｝满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n－1);(2)a1=1,an+1=22nnaa.海量资源尽在星星文库：解：(1)∵a1=0,an+1=an+(2n－1),∴a2=a1+(2×1－1)=0+1=1,a3=a2+(2×2－1)=4,a4=a3+(2×3－1)=9,a5=a4+(2×4－1)=16.∴它的前5项依次是0，1，4，9，16.又可写成(1－1)2,(2－1)2,(3－1