1112学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2

-1-选修2-21.2.2第1课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y＝13x3－2在点－1，－73处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°[答案]B[解析]y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f(x)＝13x2－1xx，则f′(1)等于()A．－16B.56C．－76D.76[答案]B3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0[答案]A[解析]∵直线l的斜率为4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x4＝1，故直线l的方程为：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.4．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值等于()A.193B.163C.103D.133[答案]B-2-[解析]∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6，∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝163.∴选B.5．已知物体的运动方程是s＝14t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒D．0秒、4秒或8秒[答案]D[解析]显然瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x－1C．y＝2x－2D．y＝－2x－2[答案]A[解析]本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.7．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()A.π2B．0C．钝角D．锐角[答案]C[解析]y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝2e4sin(4＋π4)0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y＝xsinx在点－π2，π2处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为()A.π22B．π2C．2π2D.12(2＋π)2-3-[答案]A[解析]曲线y＝xsinx在点－π2，π2处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为π22.9．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2011(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx[答案]D[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4为最小正周期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.故选D.10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)－g(x)为常数C．f(x)＝g(x)＝0D．f(x)＋g(x)为常数[答案]B[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)为常数．二、填空题11．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′π3＝12，则a＝________，b＝________.[答案]0－1[解析]f′(x)＝2ax－bcosx，由条件知－bcos0＝12π3a－bcosπ3＝12，∴b＝－1a＝0.12．设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则不等式f′(x)＜0的解集为________．[答案](－1,3)[解析]f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.-4-13．曲线y＝cosx在点Pπ3，12处的切线的斜率为______．[答案]－32[解析]∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切线斜率k＝y′|x＝π3＝－sinπ3＝－32.14．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是____________．[答案]f(x)＝－52x－12ex＋1[解析]由题意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－52，b＝－12e，故f(x)＝－52x－12ex＋1.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝x(x2＋1x＋1x3)；(2)y＝(x＋1)(1x－1)；(3)y＝sin4x4＋cos4x4；(4)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x.[解析](1)∵y＝xx2＋1x＋1x3＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3；(3)∵y＝sin4x4＋cos4x4＝sin2x4＋cos2x42－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，-5-∴y′＝－14sinx；(4)∵y＝1＋x1－x＋1－x1＋x＝(1＋x)21－x＋(1－x)21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－4(1－x)′(1－x)2＝4(1－x)2.16．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．[解析]设l与C1相切于点P(x1，x21)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x21＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x21.①对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x22－4.②∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x21＝x22－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.18．求满足下列条件的函数f(x)：(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.[解析](1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组f′(1)＝3a＋2b＝－3f′(2)＝12a＋4b＝0，-6-解得a＝1b＝－3，所以f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)是二次函数，则可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)f′(x)＝2ax＋b，把f(x)和f′(x)代入方程，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1若想对任意x方程都成立，则需a－b＝0b－2c＝0c＝1解得a＝2b＝2c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.