1112学年高中数学131函数的单调性与导数同步练习新人教A版选修22高中数学练习试

-1-选修2-21.3.1函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac0B．b0，c0C．b＝0，c0D．b2－3ac0[答案]D[解析]∵a0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac0，∴b2－3ac0.2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)[答案]D[解析]考查导数的简单应用．f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)[答案]B[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()-2-[答案]C[解析]当0x1时xf′(x)0∴f′(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf′(x)0，∴f′(x)0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.－π，－π2和0，π2B.－π2，0和0，π2C.－π，－π2和π2，πD.－π2，0和π2，π[答案]A[解析]y′＝xcosx，当－πx－π2时，cosx0，∴y′＝xcosx0，当0xπ2时，cosx0，∴y′＝xcosx0.6．下列命题成立的是()A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)0B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数-3-[答案]B[解析]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f′(x)0，g′(x)0，则x0时()A．f′(x)0，g′(x)0B．f′(x)0，g′(x)0C．f′(x)0，g′(x)0D．f′(x)0，g′(x)0[答案]B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x0时，f′(x)0，g′(x)0.8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若ab，则必有()A．af(a)≤f(b)B．bf(b)≤f(a)C．af(b)≤bf(a)D．bf(a)≤af(b)[答案]C[解析]∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－f(x)x，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)[答案]C[解析]由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为()-4-[答案]A[解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a≥1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g′(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，∴g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴1＋lnxx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－∞，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－10，得x12，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋∞)[解析]y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，-5-即a32x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.三、解答题15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)0，解得x－1或x3；又令f′(x)0，解得－1x3.所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]设f(x)＝x－12sinx，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－12cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[分析]可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．-6-[解析]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－2b3a＜x＜0.∴当x∈－2b3a，0时，函数为增函数．令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，∴x＜－2b3a，或x＞0.∴在－∞，－2b3a，(0，＋∞)上时，函数为减函数．18．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．[解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．