1112学年高中数学312复数的几何意义同步练习新人教A版选修22高中数学练习试题

-1-选修2-23.1.2复数的几何意义一、选择题1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则()A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0[答案]D[解析]复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0且b0，故应选D.2．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[答案]C[解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．当23m1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]∵23＜m＜1，∴3m－20，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限-2-D．第四象限[答案]C[解析]z＝－2sin100°＋2icos100°.∵－2sin100°0,2cos100°0，∴Z点在第三象限．故应选C.5．若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]a2－6a＋10＝(a－3)2＋10，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－10.所以对应点在第四象限，故应选D.6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数[答案]C[解析]∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，选C.7．下列命题中假命题是()A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1z2的充要条件是|z1|＞|z2|[答案]D[解析]①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a2＋b2≥0总成立．∴A正确；②由复数相等的条件z＝0⇔a＝0b＝0.⇔|z|＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；-3-④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是()A．－45x2B．x2C．x－45D．x＝－45或x＝2[答案]A[解析]由题意知(x－1)2＋(2x－1)210，解之得－45x2.故应选A.9．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1||z2|，则实数b适合的条件是()A．b－1或b1B．－1b1C．b1D．b0[答案]B[解析]由|z1||z2|得a2＋b2a2＋1，∴b21，则－1b1.10．复平面内向量OA→表示的复数为1＋i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为()A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i[答案]C[解析]由题意O′A′→＝OA→，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空题11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．[答案]－∞，－1－52∪32，＋∞-4-[解析]复数z对应的点在第一象限需m2＋m－104m2－8m＋30解得：m－1－52或m32.12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.[答案]±15－8i[解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．[答案]3m5[解析]将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i∵复数z对应点位于复平面上的第二象限∴m2－8m＋150m2－m－60解得3m5.14．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范围是________．[答案][2，＋∞)[解析]|z|2＝t1＋t2＋1＋tt2≥2t1＋t·1＋tt＝2.∴|z|≥2.三、解答题15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．[解析](1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)0，解得m－2或0m2.(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m2＋(4－m2)2＝4即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的x∈R，均有|z1||z2|成立，试求实数a的取值范围．[解析]|z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|-5-因为|z1||z2|，所以x4＋x2＋1|x2＋a|⇔x4＋x2＋1(x2＋a)2⇔(1－2a)x2＋(1－a2)0恒成立．不等式等价于1－2a＝0或1－2a0Δ＝－4(1－2a)(1－a2)0解得－1a≤12所以a的取值范围为－1，12.17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，当θ为何值时(1)z1＝z2；(2)z1，z2对应点关于x轴对称；(3)|z2|2.[解析](1)z1＝z2⇔cosθ＝3sinθsin2θ＝cosθ⇒tanθ＝332sinθcosθ＝cosθ⇒θ＝2kπ＋π6(k∈Z)．(2)z1与z2对应点关于x轴对称⇒cosθ＝3sinθsin2θ＝－cosθ⇒θ＝kπ＋π6(k∈Z)2sinθcosθ＝－cosθ⇒θ＝2kπ＋76π(k∈Z)．(3)|z2|2⇒(3sinθ)2＋cos2θ2⇒3sin2θ＋cos2θ2⇒sin2θ12⇒kπ－π4θkπ＋π4(k∈Z)．18．已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？[解析](1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2-6-|z2|＝－12－32i＝1.∴|z1|＞|z2|.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．