1112学年高中数学第三章章末综合训练新人教A版选修22高中数学练习试题

-1-选修2-23章末综合训练一、选择题1．复数i3(1＋i)2＝()A．2B．－2C．2iD．－2i[答案]A[解析]考查复数代数形式的运算．i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.2．对于下列四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数．②如果复数z1＝5i，z2＝2－3i，z3＝－5i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆．③|cosθ＋isinθ|的最大值是2，最小值为0.④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]D[解析]①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝a2＋b20.②正确．因为|z1|＝5，|z2|＝(2)2＋(3)2＝5，|z3|＝5，|z4|＝5，这些复数的对应点均在以原点为圆心，5为半径的圆上．③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝cos2θ＋sin2θ＝1为定值，最大、最小值相等都阿是1.④正确．故应选D.3．(2010·陕西理，2)复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]A[解析]z＝i1＋i＝12＋12i，对应点在第一象限．4．设复数z＝(a＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是()A．－1B．1C.2D．－3[答案]A[解析]z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有a2－1＝02a＜0，∴a＝－1.5．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为()A．1B．±1C．－1D．－2[答案]A[解析]解法1：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.解法2：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；x＝－1时，原复数为0不满足，排除B，故选A.二、填空题6．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________．-2-[答案]25[解析]由z1＝1－i，z2＝3－5i知Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，由两点间的距离公式得：d＝(3－1)2＋(－5＋1)2＝25.7．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝______________.[答案]9－5i[解析]∵z＋(1＋2i)＝10－3i∴z＝10－3i－(1＋2i)＝(10－1)＋(－3－2)i＝9－5i.8．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为________，虚部最大值为________．[答案]322[解析]z1·z2＝(cosθ－i)·(sinθ＋i)＝(cosθsinθ＋1)＋i(cosθ－sinθ)实部cosθsinθ＋1＝1＋12sin2θ≤32，最大值为32，虚部cosθ－sinθ＝2cosθ＋π4≤2，最大值为2.三、解答题9．设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；(2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)，试求a的取值范围．[解析]设z＝x＋yi(x、y∈R)，由(1)得x0，y0.由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai.即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.由复数相等得，x2＋y2－2y＝8，2x＝a.解得－6≤a＜0.10．设z是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1ω2.(1)求z的实部的取值范围；(2)设u＝1－z1＋z，求证：u是纯虚数．(3)求ω－u2的最小值．[分析]本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力．[解析](1)设z＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，则ω＝z＋1z＝a＋bi＋1a＋bi＝a＋aa2＋b2＋b－ba2＋b2i.∵ω∈R，∴b－ba2＋b2＝0.∵b≠0，∴a2＋b2＝1.此时ω＝2a，又－1ω2，∴－12a2⇔－12a1.∴z的实部的取值范围是－12，1.-3-(2)证明：u＝1－z1＋z＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi(1＋a)2＋b2＝－ba＋1i.∵a∈－12，1，b≠0，a，b∈R，∴u为纯虚数．(3)ω－u2＝2a＋b2(a＋1)2＝2a＋1－a2(a＋1)2＝2a－a－1a＋1＝2a－1＋2a＋1＝2(a＋1)＋1a＋1－3.∵－12a1，∴a＋10.∴2(a＋1)＋1a＋1－3≥2·2(a＋1)·1a＋1－3＝1.当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时取“＝”号，故ω－u2的最小值为1.[点评]本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向．