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海量资源尽在星星文库：年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M=｛x│0≤x2｝,集合N=｛x│x2-2x-30｝,集合M∩N=(A)｛x│0≤x1｝(B)｛x│0≤x2｝(C)｛x│0≤x≤1｝(D)｛x│0≤x≤2｝(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=(A)-3(B)-6(C)-3/2(D)2/3(A)(B)(C)(D)(4)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面都相等,且AB=AC=,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是(A)arocos(/3)(B)arccos(1/3)(C)π/2(D)2π/3海量资源尽在星星文库：(5)函数y=sin[(π/3)-2x]+cos2x的最小正周期是(A)π/2(B)π(C)2π(D)4π(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是(A)[-1,-1/2](B)[-1/2,0](C)[0,1/2](D)[1/2,1](7)将y=2x的图象(A)先向左平行移动1个单位(B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位(D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是(A)20π(B)25π(C)50π(D)200π(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为(A)2(B)6(C)-1/4(D)6海量资源尽在星星文库：(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是(A)2π/3(B)2π(C)7π/6(D)7π/3(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设ab0,给出下列不等式:①f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)g(b)-g(-a),其中成立的是(A)①与④(B)②与③(C)①与③(D)②与④(A){x|0＜x＜2}(B){x|0＜x＜2.5}(C){x|0＜x＜}(D){x|0＜x＜3}(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(A)150种(B)147种(C)144种(D)141种第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项:1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.海量资源尽在星星文库：(19)已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;③若mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β;④若lβ,且l⊥α,则α⊥β;⑤若mα,lβ,且α∥β,则m∥l.其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本小题满分10分)应的点分别为P,Q.证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).(21)(本小题满分11分)已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中pq,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求(22)(本小题满分12分)海量资源尽在星星文库：甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.(Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?(23)(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.(Ⅰ)证明AD⊥D1F;(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;(24)(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足(Ⅰ)当x∈(0,x1)时,证明xf(x)x1;.(25)(本小题满分12分)海量资源尽在星星文库：设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,满分65分.(1)B(2)B(3)A(4)C(5)B(6)D(7)D(8)C(9)B(10)B(11)A(12)D(13)C(14)C(15)D二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.海量资源尽在星星文库：注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.三.解答题(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一：-------2分于是-------5分-------7分由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形.----7分解法二:海量资源尽在星星文库：⊥OQ,│OP│=│OQ│.由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.----10分(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.解:--------3分分两种情况讨论.(Ⅰ)p1.海量资源尽在星星文库：=p.-------7分(Ⅱ)p1.∵0qp1,-------11分(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.故所求函数及其定义域为(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有海量资源尽在星星文库：≥0,且abc2,故有a-bcv≥a-bc20,也即当v=c时,全程运输成本y最小.(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F面DC1,海量资源尽在星星文库：∴AD⊥D1F.-------------2分(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.-------------5分(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1.-------------7分(Ⅳ)连结GE,GD1.∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,∵AA1=2,海量资源尽在星星文库：(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).------------2分当x∈(0,x1)时,由于x1x2,得(x-x1)(x-x2)0,又a0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)0,即xf(x).------------4分所以x1-x0,1+a(x-x2)=1+ax-ax21-ax20.得x1-f(x)0.由此得f(x)x1.------------7分(Ⅱ)依题意知海量资源尽在星星文库：是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.------------9分.因为ax21,所以.------------12分(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.r2=2b2------------2分又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.------------5分又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为海量资源尽在星星文库：=│a-2b│2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.------10分由此有解此方程组得由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.-------------12分解法二:同解法一得∴得①将a2=2b2-1代入①式,整理得②海量资源尽在星星文库：的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即△=8(5d2-1)≥0,得5d2≥1.将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.综上a=±1,b=±1,r2=2.由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.-------------12分