2009年湖南高考理科数学试题和答案

海量资源尽在星星文库：本资料来源于《七彩教育网》年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若2loga＜0，1()2b＞1，则(D)A．a＞1,b＞0B．a＞1,b＜0C.0＜a＜1,b＞0D.0＜a＜1,b＜02．对于非0向时a,b,“a//b”的确良（A）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．将函数y=sinx的图象向左平移(0＜2)的单位后，得到函数y=sin()6x的图象，则等于（D）A．6B．56C.76D.1164．如图1，当参数2时，连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C,则[B]A10B10C120D2105.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位[C]A85B56C49D286.已知D是由不等式组2030xyxy，所确定的平面区域，则圆224xy在区域D内的弧长为[B]A4B2C34D32海量资源尽在星星文库：．正方体ABCD—1A1B1C1D的棱上到异面直线AB，C1C的距离相等的点的个数为（C）A．2B．3C.4D.58.设函数()yfx在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数(),()(),()kfxfxKfxKfxK取函数()fx=12xe。若对任意的(,)x，恒有()kfx=()fx，则A．K的最大值为2B.K的最小值为2C．K的最大值为1D.K的最小值为1【D】二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__10．在323(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为___7__(用数字作答)11、若x∈(0,2)则2tanx+tan(2-x)的最小值为22.12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60o，则双曲线C的离心率为6213、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数数位50。14、在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为315、将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=103，…，f(n)=海量资源尽在星星文库：(n+1)(n+2)三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在ABC，已知2233ABACABACBC，求角A，B，C的大小。解：设,,BCaACbABc由23ABACABAC得2cos3bcAbc，所以3cos2A又(0,),A因此6A由233ABACBC得23bca，于是23sinsin3sin4CBA所以53sinsin()64CC，133sin(cossin)224CCC，因此22sincos23sin3,sin23cos20CCCCC，既sin(2)03C由A=6知506C，所以3，4233C，从而20,3C或2,3C，既,6C或2,3C故2,,,636ABC或2,,663ABC。17.（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求海量资源尽在星星文库：的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件1A,1B,1C，i=1，2，3.由题意知1A23AA相互独立，1B23BB相互独立，1C23CC相互独立，1A,1B,1C（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（1A）=，P（1B）=13，P（1C）=16（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（1A2B3C）=6P（1A）P（2B）P（3C）=6121316=16(2)解法1设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，13），且=3。所以P（=0）=P（=3）=13C31()3=127，P（=1）=P（=2）=23C31()32()3=29P（=2）=P（=1）=13C1()322()3=49P（=3）=P（=0）=03C32()3=827故的分布是0123P1272949827的数学期望E=0127+129+249+3827=2解法2第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D，i=1,2,3，由此已知，1D·D，1D相互独立，且P（1D）-（1A，1C）=P（1A）+P（1C）=12+16=23所以--2(3,)3B,既3321()()()33KKKPKC，0,1,2,3.k海量资源尽在星星文库：故的分布列是0123p127294982718.（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABCABC中，2ABAAD是11AB的中点，点E在11AC上，且DEAE。（I）证明平面ADE平面11ACCA（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。解（I）如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面111ABC又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE。AA1AE=A所以DE平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1。（2）解法1如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1BC1D，A1BDF又C1DDF=D，所以A1B平面C1DF，而AB∥A1B，所以AB平面C1DF，又AB平面ABC，故海量资源尽在星星文库：平面C1DF。过点D做DH垂直C1F于点H，则DH平面ABC1。连接AH，则HAD是AD和平面ABC1所成的角。由已知AB=2AA1，不妨设AA1=2，则AB=2，DF=2，DC1=3，C1F=5，AD=221ADAA=3，DH=FCDCDF11·=532—530，所以sinHAD=ADDH=510。即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为510。解法2如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)，B（3，0，0），C1（0，1，2），D（23，-21，2）。易知AB=(3，1，0)，1AC=(0，2，2)，AD=(23，-21，2）设平面ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有,022·,03·1zyACnyxABn解得x=-33y，z=-y2，故可取n=(1，-3，6)。所以，cos(n·AD)=ADnADn··=31032=510。海量资源尽在星星文库：由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为510。19.（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(1)1mnxmx，即n=所以(2)mmxxxxxy=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+2562256.xmxmx（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2332222561'()(512).22mmfxmxxxx令'()0fx，得32512x，所以x=64当0x64时'()fx0，()fx在区间（0，64）内为减函数；当64640x时，'()fx0.()fx在区间（64，640）内为增函数，所以()fx在x=64处取得最小值，此时，640119.64mnx故需新建9个桥墩才能使y最小。20（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则224(3)dxy3︳x-2︳海量资源尽在星星文库：时，由①得221(3)6,2xyx化简得221.3627xy当2x时由①得22(3)3,xyx化简得212yx故点P的轨迹C是椭圆221:13627xyC在直线x=2的右侧部分与抛物线22:12Cyx在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与1C，2C的交点都是A（2，26），B（2，26），直线AF，BF的斜率分别为AFk=26，BFk=26.当点P在1C上时，由②知162PFx.④当点P在2C上时，由③知3PFx⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为(3)ykx（i）当k≤AFk，或k≥BFk，即k≤-26时，直线I与轨迹C的两个交点M（1x，1y），N（2x，2y）都在C1上，此时由④知∣MF∣=6-121x∣NF∣=6-122x从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-121x）+（6-122x）=12-12(1x+2x)海量资源尽在星星文库：(3)13627ykxxy得2222(34)24361080kxkxk则1x，1y是这个方程的两根，所以1x+2x=222434kk*∣MN∣=12-12（1x+2x）=12-221234kk因为当226,6,24,kk或k2时22212121001212.134114kMNkk当且仅当26k时，等号成立。（2）当,2626AEANkkkk时，直线L与轨迹C的两个交点1122(,),(,)MxyNxy分别在12,CC上，不妨设点M在1C上，点2C上，则④⑤知，1216,32MFxNFx设直线AF与椭圆1C的另一交点为E00012(,),,2.xyxxx则1021166,33222MFxxEFNFxAF所以MNMFNFE