20103北京石景山区高三数学理科模拟试题B

海量资源尽在星星文库：年石景山区高三统一测试数学（理科）考生须知1.本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．2.本试卷共10页，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-9页，第10页为草稿纸，各题答案均答在本题规定的位置．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（石景山·理·题1）复数21i等于（）A．2iB．2iC．1iD．1i【解析】C；22(1i)2(1i)1i1i(1i)(1i)2．2．（石景山·理·题2）已知命题:pxR，2x≥，那么命题p为（）A．,2xxR≤B．,2xxRC．,2xxR≤D．,2xxR【解析】B；全称命题的否定是存在性命题，将改为，然后否定结论．3．（石景山·理·题3）已知平面向量(1,2)a，(2,)mb，且ab∥，则m的值为（）A．1B．1C．4D．4【解析】D；ab∥的充要条件，(2)214mm．4．（石景山·理·题4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm）为（）A．80B．60C．40D．20海量资源尽在星星文库：【解析】A；几何体如图，是正四棱锥，底边长8，侧面底边上的高为5，因此侧面积为1854802．5．（石景山·理·题5）经过点(2,3)P作圆22(1)25xy的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．50xyB．50xyC．50xyD．50xy【解析】A；设圆心为C，则AB垂直于CP，3012(1)CPk，故:32AByx，选A．6．（石景山·理·题6）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列1n的前10项和()nNB．求数列12n的前10项和()nNC．求数列1n的前11项和()nND．求数列12n的前11项和()nN开始0S2n1k10k输出S结束1SSn2nn1kk是否【解析】B注意n和k的步长分别是2和1．7．（石景山·理·题7）海量资源尽在星星文库：已知函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，那么函数()fx的图象最有可能的是（）【解析】A；由()fx的图象知0和2是()fx的极值点，且0x时，()fx单调递减，故选A．8．（石景山·理·题8）已知函数21()log3xfxx，正实数,,abc是公差为正数的等差数列，且满足()()()0fafbfc．若实数d是方程()0fx的一个解，那么下列四个判断：①da；②db；③dc；④dc中有可能成立的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解析】C；()fx在(0,)上单调减，值域为R．又abc，()()()0fafbfc，所以⑴(),()0fafb，()0fc．由()0fd可知，abdc，③成立；⑵(),(),()0fafbfc．此时dabc，①②③成立．综上，可能成立的个数为3．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（石景山·理·题9）二项式42x+x的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为．（用数字作答）【解析】24,81；通项公式4421442C2CrrrrrrrTxxx，2r时，可得常数项2242C24；令1x即可得各项系数和为4381．10．（石景山·理·题10）海量资源尽在星星文库：()为参数，则曲线C的普通方程是；点A在曲线C上，点(,)Mxy在平面区域22020210xyxyy≥≤≥上，则AM的最小值是．【解析】22(2)1xy，32；C是圆22(2)1xy；不等式组的可行域如图阴影所示，A点为(0,1)、M为10,2时，||AM最短，长度是32．CA2-2yxO11．（石景山·理·题11）如图，已知PE是圆O的切线．直线PB交圆O于A、B两点，4PA，12AB，43AE．则PE的长为_____，ABE的大小为________．POEBA【解析】8，30；24(412)64PEPAPB，则8PE；由222PEPAAE，可知90PAE，即90BAE，由3tan3AEABEAB，得30ABE．12．（石景山·理·题12）某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的成绩分成五段50,60，60,70…90,100后，画出部分．．频率分布直方图（如图），那么化学成绩在70,80的学生人数为．海量资源尽在星星文库：频率组距分数【解析】18；0.03(8070)6018．13．（石景山·理·题13）函数22cossin2sincosyxxxx的最小正周期为_______，此函数的值域为_____________．【解析】π，2,2；πcos2sin22sin4yxxx，故最小正周期为π，值域为2,2．14．（石景山·理·题14）在数列na中，若221nnaap，（2,nnN≥，p为常数），则称na为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若na是等方差数列，则2na是等差数列；②(1)n是等方差数列；③若na是等方差数列，则kna（kN，k为常数）也是等方差数列；④若na既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为．（将所有正确的命题序号填在横线上）【解析】①②③④；由定义可知，2na是公差为p的等差数列，①正确；221110(2,*)nnnnN≥为常数，故1n是等方差数列，②正确；若221(2,*)nnaapnnN≥，则22222222(1)1121(1)knknknknknknknkknaaaaaaaakp为常数，③对；设{}na公差为d，则221111()()()nnnnnnnnpaaaaaadaa，结合1()nnpdaa，两式相减可得2110()20nndaadd，故{}na是常数列，④对．海量资源尽在星星文库：三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（石景山·理·题15）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1a，2c，3cos4C．⑴求sin()AB的值；⑵求sinA的值；⑶求CBCA的值．【解析】⑴∵在ABC△中，πABC，∴sin()sin(π)sinABCC．又∵3cos4C，∴π02C，∴27sin1cos4CC．∴7sin()4AB．⑵由正弦定理得sinsinacAC，∴71sin144sin82aCAc．⑶由余弦定理得2222coscababC，∴2223(2)1214bb，即22320bb．解得2b或12b（舍）．∴33cos1242CBCACBCAC．16．（石景山·理·题16）如图，两个圆形转盘,AB，每个转盘阴影部分各占转盘面积的12和14．某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到,AB转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分．先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动．⑴记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值分别是多少？⑵如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由．【解析】⑴X的取值分别是：0分，1000分，3000分．⑵由已知得，转动A盘得到积分的概率为12，转动B盘得到积分的概率为14．设先转A盘所得的积分为X分，先转B盘所得的积分为Y分．则有海量资源尽在星星文库：(0)122PX，113(1000)(1)248PX，111(3000)248PX．∴13160000100030002888EX．同理：3(0)4PY，1(2000)8PY，1(3000)8PY．∴31150000200030004888EY．故先转A盘时，赢得积分平均水平较高．17．（石景山·理·题17）如图，已知直三棱柱111ABCABC，90ACB，E是棱1CC上动点，F是AB中点，2ACBC，14AA．⑴求证：CF平面1ABB；⑵当E是棱1CC中点时，求证：CF∥平面1AEB；⑶在棱1CC上是否存在点E，使得二面角1AEBB的大小是45，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．C1B1A1FECBA【解析】⑴证明：⑴∵三棱柱111ABCABC是直棱柱，∴1BB平面ABC．又∵CF平面ABC，∴CF1BB．海量资源尽在星星文库：∵90ACB，2ACBC，F是AB中点，∴CFAB．∵1BBABB，∴CF平面1ABB．⑵证明：取1AB的中点G，联结EG，FG．GC1B1A1FECBA∵F、G分别是棱AB、1AB中点，∴1FGBB∥，12FG1BB．又∵1ECBB∥，112ECBB，∴FGEC∥，FGEC．∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG．又∵CF平面1AEB，EG平面1AEB，∴CF∥平面1AEB．⑶以C为坐标原点，射线1,,CACBCC为,,xyz轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，zyxC1B1A1FECBA则(0,0,0)C，(2,0,0)A，1(0,2,4)B．设(0,0,)Em，平面1AEB的法向量(,,)nxyz，则1(2,2,4)AB，(2,0,)AEm．且1ABn，AEn．于是12240,200.ABnxyzAEnxymz海量资源尽在星星文库：所以,24.2mzxmzzy取2z，则(,4,2)nmm∵三棱柱111ABCABC是直棱柱，∴1BB平面ABC．又∵AC平面ABC，∴AC1BB．∵90ACB，∴ACBC．∵1BBBCB，∴AC平面1ECBB．∴CA是平面1EBB的法向量，(2,0,0)CA．二面角1AEBB的大小是45，则22222cos4522(4)2CAnmCAnmm．解得52m．∴在棱1CC上存在点E，使得二面角1AEBB的大小是45，此时52CE．18．（石景山·理·题18）在数列{}na中，13a，121nnaan(2n≥且*)nN．⑴求2a，3a的值；⑵证明：数列{}nan是等比数列，并求{}na的通项公式；⑶求数列{}na的前n项和nS．【解析】⑴∵13a，121nnaan*(2,)nnN≥，∴21416aa，32611aa．⑵证明：∵11111(21)11(1)11nnnnnnanannanananan，∴数列{}nan是首项为114a，公比为1的等比数列