2010年北京朝阳区高三一模试题数学文B

海量资源尽在星星文库：—2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学试题（文史类）2010．4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上．考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（朝阳·文·题1）1．复数22(1)ii等于（）A．2B．-2C．2iD．2i【解析】C；221221iiii．（朝阳·文·题2）2．命题:0px，都有sin1x≥，则（）A．:0px，使得sin1xB．:0px，使得sin1xC．:0px，使得sin1xD．:0px，使得sin1x≥【解析】A；由命题的否定容易做出判断．（朝阳·文·题3）3．满足2721log42x成立的x的取值范围是（）A．{|1}xxB．{|3}xxC．{|3}xxD．{|1}xx海量资源尽在星星文库：【解析】B；27721212log427212xxx--骣÷ç==?÷ç÷ç桫解得3x．（朝阳·文·题4）4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线π3x对称的是（）A．πsin23yxB．πsin26yxC．πsin26yxD．1πsin23yx【解析】B；对于A，C，直线π3x不是其对称轴；对于D，其最小正周期为2π4π12．（朝阳·文·题5）5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）A．18B．116C．127D．38【解析】C；容易知道，当蜜蜂在边长为10，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的．于是安全飞行的概率为331013027．（朝阳·文·题5）6．下图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,aa，则一定有（）A．12aaB．12aaC．12aaD．12,aa的大小与m的值有关0795455184464793m甲乙【解析】B；海量资源尽在星星文库：容易知道，甲选手的有效得分为84，85，85，85，81．于是181853841845a；乙选手的有效得分为84，84，84，86，87．于是28438687855a．（朝阳·文·题7）7．设min,pq表示,pq两者中的较小者，若函数2()min{3,log}fxxx，则1()2fx的解集（）A．50,2,2B．0,C．5(0,2),2D．2,【解析】A；由522511min,log222f，排除B，D；又112min32,22f知C错误．由图像法亦可直接求解．（朝阳·文·题8）8．如图，设平面,,EFABCD，垂足分别为,BD，且ABCD，如果增加一个条件就能推出BDEF，给出四个条件：①AC；②ACEF；③AC与BD在内的正投影在同一条直线上；④AC与BD在平面内的正投影所在直线交于一点．那么这个条件不可能．．．是（）A．①②B．②③C．③D．④FEDCBA【解析】D；在①②③的条件下，均有BDEF．若能证明EF面ABCD．由BD面ABCD，则可证明BDEF．①中ACACEF．又由EFAD，知EF面ABCD．②中由ACEF，ABEF知EF面ABCD．③由面ABCD在内的正投影为直线，知面ABCD．又面ABCD，EF，知EF面ABCD．海量资源尽在星星文库：第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．（朝阳·文·题9）9．函数sincosyxx的最大值是．【解析】12；1sincossin22yxxx．于是当sin2x取最大值1时，y有最大值12．（朝阳·文·题10）10．在抛物线22(0)ypxp上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．【解析】2；由抛物线的几何性质，有4522pp．（朝阳·文·题11）11．如图，下程序框图的程序执行后输出的结果是．S=S+nn=n+1n=1S=0n10否是输出S结束开始【解析】55；将经过i次运行后的,nS值列表如下．于是55S．i12345．．．m．．．10n234561m11S136101512mm55海量资源尽在星星文库：（朝阳·文·题12）12．如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为．俯视图侧视图正视图【解析】3π2．易知该几何体是底面直径为1，高为1的圆柱．于是其全面积为213ππ11π222．（朝阳·文·题13）13．圆224xy被直线3230xy截得的劣弧所对的圆心角的大小为．【解析】π3．圆心到直线的距离为23331d．不妨设劣弧所对的圆心角为，如图所示，于是3cos22．解得π3．2-23x+y-23=0Oyx（朝阳·文·题14）14．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是x，另一个是3x，设第*()nnN次生成的数的个数为na，则数列{}na的前n项和nS；若1x，前n次生成所有数．．．中不同的数的个数为nT，则4T海量资源尽在星星文库：．【解析】21,10n；容易知道，第n次生成的数的个数为2nna，于是1122112nnnS．依次写出1,2,3,4n时生成的不同的数，得知121,3TT34,6,10TT．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（朝阳·文·题15）15．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且35π,sin45CA．⑴求cos,sinAB的值；⑵若22ab，求,ab的值．【解析】⑴因为35π,sin45CA所以225cos1sin5AA由已知得π4BA所以πππsinsin()sincoscossin444BAAA2252510252510……7分⑵由⑴知10sin10B，根据正弦定理sinsinbaBA得2.ab又因为22ab，所以2,2ab．……13分（朝阳·文·题16）16．袋子中装有编号为,ab的2个黑球和编号为,,cde的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【解析】⑴,,,,,,,,,.abacadaebcbdbccdcede3分⑵记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A对应的基本事件为,,,,,acadaebcbebd，共6个基本事件，所以6()0.610PA…．．8分答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6海量资源尽在星星文库：⑶记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为,,,,,,abacadaebcbdbe，共7个基本事件，所以7()0.710PB答：至少摸出1个黑球的概率为0.7…．．13分（朝阳·文·题17）17．如图，在三棱柱111ABCABC中，每个侧面均为正方形，,DE分别为侧棱1,ABCC的中点，1AB与1AB的交点为O．⑴求证：CD∥平面1AEB；⑵求证：1AB平面1AEB．EC1B1A1DCBA【解析】⑴设1AB和1AB的交点为O，连接EO，连接OD，OEC1B1A1DCBA因为O为1AB的中点，D为AB的中点，所以1ODBB∥，且112ODBB又E是1CC中点，则1ECBB∥且112ECBB，所以ECOD∥且ECOD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EOCD∥．又CD平面1ABE，EO平面1ABE，海量资源尽在星星文库：∥平面1ABE……………………7分⑵因为三棱柱各侧面都是正方形，所以11,BBABBBBC，所以1BB平面ABC．因为CD平面ABC，所以1BBCD．由已知得ABBCAC，所以CDAB．所以CD平面11AABB由⑴可知EOCD∥，所以EO平面11AABB．所以1EOAB．因为侧面是正方形，所以11ABAB．又1,EOABOEO平面1AEB，1AB平面1AEB．所以1AB平面1ABE．（朝阳·文·题18）18．已知函数32()33,fxmxxxmR．⑴若函数()fx在1x处取得极值，试求m的值，并求()fx在点(1,(1))Mf处的切线方程；⑵设0m，若函数()fx在2,上存在单调递增区间，求m的取值范围．【解析】⑴2()363.fxmxx因为函数()fx在1x处取得极值，所以(1)0f，解得3m．于是函数322()333,(1)3,()963fxxxxffxxx．函数()fx在点1,3M处的切线的斜率(1)12kf．则()fx在点M处的切线方程为1290xy6分⑵当0m时，2()363fxxx是开口向下的抛物线，要使()fx在2,上存在子区间使()0fx，应满足0,12,1()0.mmfm≥或0,12,(2)0mmf解得102m≤，或3142m．所以m的取值范围是3,04．14分海量资源尽在星星文库：（朝阳·文·题19）19．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点31,2M，过点2,1P的直线l与椭圆C相交于不同的两点,AB．⑴求椭圆C的方程；⑵是否存直线l，满足2PAPBPM？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解析】⑴设椭圆C的方程为22221(0)xyabab，由题意得22222191412abcaabc解得224,3ab，故椭圆C的方程为22143xy5分⑵若存在直线l满足条件，设直线l的方程为(2)1ykx由221,43(2)1xyykx得222(34)8(21)161680kxkkxkk因为直线l与椭圆C相交于不同的两点,AB．设,AB两点的坐标分别为1122,,,xyxy所以222[8(21)]4(34)(16168)0.kkkkk整理，得32(63)0k解得12k．又21212228(21)16168,3434kkkkxxxxkk且2PAPBPM．即12125(2)(2)(1)(1)4xxyy．所以2212(2)(2)(1)||xxkPM54即212125[2()4](1).4xxxxk所以222222161688