2010高考数学一轮复习推理与证明

学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网推理与证明（一）合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（二）直接证明与间接证明1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。第1课时合情推理与演绎推理1.推理一般包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括和；归纳推理：从个别事实中推演出，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：、、.类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、、.3.演绎推理：演绎推理是，按照严格的逻辑法则得到的推理过程；三段论常用格式为：①M是P，②，③S是P；其中①是，它提供了一个个一般性原理；②是，它指出了一个个特殊对象；③是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．例1.已知：23150sin90sin30sin222；23125sin65sin5sin222通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：典型例题基础过关考纲导读高考导航学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网=23（*）并给出（*）式的证明.解：一般形式:23)120(sin)60(sinsin222证明：左边=2)2402cos(12)1202cos(122cos1=)]2402cos()1202cos(2[cos2123=240cos2cos120sin2sin120cos2cos2[cos2123]240sin2sin=]2sin232cos212sin232cos212[cos2123=右边23（将一般形式写成2223sin(60)sinsin(60),22223sin(240)sin(120)sin2等均正确。）变式训练1：设)()(,cos)('010xfxfxxf，'21()(),,fxfx'1()()nnfxfx，n∈N，则)(2008xf解：xcos，由归纳推理可知其周期是4例2.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.222bac设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用321,,sss表示三个侧面面积，4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是.解：24232221SSSS。变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径222bar，学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是2222cbar。例3.请你把不等式“若21,aa是正实数，则有21122221aaaaaa”推广到一般情形，并证明你的结论。答案：推广的结论：若naaa,,,21都是正数，nnnnaaaaaaaaaaa211212322221证明：∵naaa,,,21都是正数∴122212aaaa，211222aaaa………，1212nnnnaaaa，nnaaaa2112nnnnaaaaaaaaaaa211212322221变式训练3：观察式子：474131211,3531211,23211222222，…，则可归纳出式子为（）A、121131211222nnB、121131211222nnC、nnn12131211222D、122131211222nnn答案：C。解析：用n=2代入选项判断。例4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分第2课时直接证明与间接证明⑴1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；基础过关学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网直接证明的两种基本方法——分析法和综合法⑴综合法——；⑵分析法——；2.间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.例1．若cba,,均为实数，且62,32,22222xzczybyxa。求证：cba,,中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设cba,,都不大于0，即0,0,0cba，则有0cba，而3)632()1()1()1()62()32()22(222222zyxxzzyyxcba=3)1()1()1(222zyx∴222)1(,)1(,)1(zyx均大于或等于0，03，∴0cba，这与假设0cba矛盾，故cba,,中至少有一个大于0。变式训练1：用反证法证明命题“abNba,,可以被5整除，那么ba,中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。例2.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：cbacbba311。答案：证明：要证cbacbba311，即需证3cbcbabacba。即证1cbabac。又需证))(()()(cbbabaacbc，需证222bacac∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。由余弦定理，有60cos2222caacb，即acacb222。∴222bacac成立，命题得证。变式训练2：用分析法证明：若a0，则212122aaaa。答案：证明：要证212122aaaa，只需证212122aaaa。∵a0，∴两边均大于零，因此只需证2222)21()21(aaaa典型例题学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网只需证)1(222211441222222aaaaaaaa，只需证)1(22122aaaa，只需证)21(2112222aaaa，即证2122aa，它显然成立。∴原不等式成立。例3．已知数列na，0na，01a，)(12121Nnaaannn．记nnaaaS21．)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT．求证：当Nn时，（1）1nnaa；（2）2nSn；（3）3nT。解：（1）证明：用数学归纳法证明．①当1n时，因为2a是方程210xx的正根，所以12aa．②假设当*()nkkN时，1kkaa，因为221kkaa222211(1)(1)kkkkaaaa2121()(1)kkkkaaaa，所以12kkaa．即当1nk时，1nnaa也成立．根据①和②，可知1nnaa对任何*nN都成立．（2）证明：由22111kkkaaa，121kn，，，（2n≥），得22231()(1)nnaaaana．因为10a，所以21nnSna．由1nnaa及2211121nnnaaa得1na，所以2nSn．学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网（3）证明：由221112kkkkaaaa≥，得111(2313)12kkkaknnaa≤，，，，≥所以23421(3)(1)(1)(1)2nnnaaaaaa≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa≤≥，故当3n≥时，21111322nnT，又因为123TTT，所以3nT．学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网考察下列一组不等式：,5252522233,5252523344,525252322355.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.2．已知数列na满足12a，111nnnaaa（*nN），则3a的值为，1232007aaaa的值为．3.已知2()(1),(1)1()2fxfxffx*xN（），猜想(fx）的表达式为（）A.4()22xfx；B.2()1fxx；C.1()1fxx；D.2()21fxx.4.某纺织厂的一个车间有技术工人m名（mN），编号分别为1、2、3、……、m，有n台（nN）织布机，编号分别为1、2、3、……、n，定义记号ija：若第i名工人操作了第j号织布机，规定1ija，否则0ija，则等式41424343naaaa的实际意义是（）A、第4名工人操作了3台织布机；B、第4名工人操作了n台织布机；C、第3名工人操作了4台织布机；D、第3名工人操作了n台织布机.5.已知*111()1()23fnnNn，计算得3(2)2f，(4)2f，5(8)2f，(16)3f，7(32)2f，由此推测：当2n时，有6.观察下图中各正方形图案，每条边上有(2)nn个圆圈，每个图案中圆圈的总数是nS，按此规律推出：当2n时，nS与n的关系式24nS38nS412nS7.观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论：.8.函数()fx由下表定义：若05a