2011届北京五中高三上期中考试数学理试题

北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(理科)一．选择题（每题5分，共40分，请把答案填在第3页表中）1．设集合2,1A，则满足3,2,1BA的集合B的个数是())(A1)(B3)(C4)(D82．给出下列命题：①2xxxR；②2xxxR；③43；④“21x”的充要条件是“1x,或1x”,其中正确命题的个数是（）)(A0)(B1)(C2)(D33.设非零向量ba,满足,baba，则a与ba的夹角为（）)(A30°)(B60°)(C90°)(D120°4.已知等差数列}{na的前20项的和为100，那么147aa的最大值为())(A25)(B50)(C100)(D不存在5．将函数sin2yx的图象向左平移4个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是())(A22cosyx)(Bcos2yx)(Ccos2yx)(D22cosyx6．若过定点)0,1(M且斜率为k的直线与圆05422yxx在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是())(A50k)(B05k)(C130k)(D50k7．函数bxxfalog)(是偶函数，且在区间,0上单调递减，则)2(bf与)1(af的大小关系为（）)(A)1()2(afbf)(B)1()2(afbf)(C)1()2(afbf)(D不能确定8．一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在1t时刻测得它的影长为4米，在2t时刻的影长为1米。这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在1t、2t这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（）)(A1：1)(B2：1)(C3：1)(D2：1二．填空题（每题5分，共30分，请把答案填在第3页表中）9．函数)32cos()62sin()(xxxf的最小正周期为10．与)4,3(a垂直的单位向量为______________D1A1DAB1C1CB11．已知1,1,yyxxy则yxz2的最大值是12．已知当4x时，12)(xxf，且)4()4(xfxf恒成立，则当4x时，)(xf＝13．已知点P2,2在曲线3yaxbx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么ab，此时函数3fxaxbx，3[,3]2x的值域为14．一个正方体形状的无盖铁桶1111DCBAABCD的容积是V，里面装有体积为V32的水，放在水平的地面上（如图所示）.现以顶点A为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点1A处流出时，棱1AA与地面所成角的余弦值为三．解答题（共80分）15．某车间甲组10名工人，其中4名女工人，乙组5名工人，其中3名女工人，现采用分层抽样方法，从甲乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（1）求从甲乙两组各抽取的人数（2）求从甲组抽取的2人中恰有1名女工的概率（3）用X表示抽取的3名工人中男工人数，求X的分布列及数学期望16．在ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，已知A、B为锐角，且532cosA，1010sinB（1）求BA的值（2）若12ba，求a、b、c的值17．如图①，正三角形ABC边长2，CD为AB边上的高，E、F分别为AC、BC中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角BDCA，如图②(1)判断翻折后直线AB与面DEF的位置关系，并说明理由(2)求二面角DACB的余弦值(3)求点C到面DEF的距离[图①图②[18．已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线:lykxm交椭圆于不同的两点A，B（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）若坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值19．已知函数2()ln(1),0fxaxxaxa，（Ⅰ）若21x是函数)(xf的一个极值点，求a；（Ⅱ）讨论函数)(xf的单调区间；（Ⅲ）若对于任意的[1,2]a，不等式fxm≤在1[,1]2上恒成立，求m的取值范围.20．已知数列na和nb，nan，nnb2，定义无穷数列nc如下：1a，1b，2a，2b，3a，3b，…，na，nb，…（1）写出这个数列nc的一个通项公式（不能用分段函数）（2）指出32是数列nc中的第几项，并求数列nc中数值等于32的两项之间（不包括这两项）的所有项的和（3）如果yxcc（Nyx,，且yx）,求函数)(xfy的解析式，并计算yxxccc31（用x表示）北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(理科)答案1.C2.C3.D4.A5.A6.A7.C8.A9.210.)53,54(,)53,54(11.312.x7213.-3[-2,18]14.112215.解：（1）甲组2人，乙组1人（2）1582101416CCC（3）X可能取值为0，1，2，3252)0(152101324CCCCXP7528)1(152101224131416CCCCCCCXP7531)2(152101326121416CCCCCCCXP152)3(152101226CCCCXP分布列为X012[3P2527528753115258EX16．解：（Ⅰ）A、B为锐角，10sin10B，2310cos1sin10Bb又23cos212sin5AA，5sin5A，225cos1sin5AA，253105102cos()coscossinsin5105102ABABAB0AB4AB…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C,2sin2C.由正弦定理sinsinsinabcABC得5102abc，即2ab，5cb21abQ，221bb，1b17．解：（1）平行（证明略）（2）取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为721（３）CDFEDEFCVV，可得点C到面DEF的距离为72118.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，解得2c.222abc由得，b=1.所求椭圆方程为221.3xy（Ⅱ）23,21mk由已知可得223(1)4mk.ykxm将代入椭圆方程，222(13)6330kxkmxm整理得.2226413330()kmkm2121222633,1313kmmxxxxkk.2222222212223612(1)(1)()(1)[](31)31kmmABkxxkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk242221212123334(0)196123696kkkkkk2219kk当且仅当，33k即时等号成立.33k经检验满足(*)式，.03.kAB当时，max2AB综上可知，1332222ABAOBS当最大时的面积取最大值，.19.解：（Ⅰ）1)2(2)(22axxaaxxf……………………………………………2分因为21x是函数)(xf的一个极值点，所以0)21(f，得022aa.因为0a，所以2a.……………………………………………………3分（Ⅱ）因为)(xf的定义域是1(,)a，1)22(21)2(2)(222axaaxaxaxxaaxxf.（1）当2a时，列表x1(,0)a22(0,)2aa22(,)2aa)(xf＋－＋)(xf增减增)(xf在1(,0)a，22(,)2aa是增函数；)(xf在22(0,)2aa是减函数.（2）当2a时，222()021xfxx≥，)(xf在2(,)2是增函数.（3）当20a时，列表x212(,)2aaa22(,0)2aa(0,))(xf＋－＋)(xf增减增)(xf在212(,)2aaa,(0,)是增函数；)(xf在22(,0)2aa是减函数.……9分