2011届高考考前必看的20道数学压轴题

2011届高考考前必看的20道数学压轴题1．已知点)1,0(F，一动圆过点F且与圆8)1(22yx内切．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设点)0,(aA，点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值)(ad；（3）在10a的条件下，设△POA的面积为1S（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以)(ad为边长的正方形的面积为2S．若正数m满足21mSS，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．2．在直角坐标平面上有一点列),(111yxP，),(222yxP，…，),(nnnyxP，…，对每个正整数n，点nP位于一次函数45xy的图像上，且nP的横坐标构成以23为首项，1为公差的等差数列nx．（1）求点nP的坐标；（2）设二次函数)(xfn的图像nC以nP为顶点，且过点)1,0(2nDn，若过nD且斜率为nk的直线nl与nC只有一个公共点，求nnnkkkkkk13221111lim的值．（3）设nxxxS2{，n为正整数}，nyyyT12{，n为正整数}，等差数列na中的任一项TSan，且1a是TS中的最大数，11522510a，求na的通项公式．3．已知点A（－1，0)，B（1,0)，C（－5712,0)，D（5712,0)，动点P（x,y)满足AP→·BP→＝0，动点Q（x,y)满足|QC→|+|QD→|＝103⑴求动点P的轨迹方程C0和动点Q的轨迹方程C1；⑵是否存在与曲线C0外切且与曲线C1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；⑶固定曲线C0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。4．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3）x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，⑴求实数m的取值范围；⑵令t＝－m＋2，求[1t]；(其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1，[2．5]＝2，[－2．5]＝－3)⑶对⑵中的t，求函数g(t)＝t＋1t[t][1t]+[t]+[1t]+1的值域。5．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．6．已知)(xf是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、Ry都满足：)()()(yxfyfxf（1）求)0(f的值，并证明对任意的Rx，都有0)(xf；（2）设当0x时，都有)0()(fxf，证明)(xf在,上是减函数；（3）在（2）的条件下，求集合)lim(,),(,),(),(21nnnSfSfSfSf中的最大元素和最小元素。7．直线)(*Nnnyx与x轴、y轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为na，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为nb．（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）（1）求3a和3b的值；（2）求na及nb的表达式；（3）对na个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总数为An，对nb个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小．8．已知动点M到定点（1，0）的距离比M到定直线2x的距离小1。（1）求证：M点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作相互垂直的弦PBPA,，则弦AB必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点O任作相互垂直的弦OBOA,，则弦AB是否经过一个定点？若经过定点（设为Q），请求出Q点的坐标，否则说明理由；②研究：对于抛物线pxy22上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。9．若函数)(xfA的定义域为12)1()(),,[2abxbaxxfbaAA且，其中a、b为任意正实数，且ab。（1）当A=)7,4[时，研究)(xfA的单调性（不必证明）；（2）写出)(xfA的单调区间（不必证明），并求函数)(xfA的最小值、最大值；（3）若),)2(,)1[(),)1(,[2212221kkIxkkIxkk其中k是正整数，对一切正整数k不等式mxfxfkkII)()(211都有解，求m的取值范围。10．我们把数列}{kna叫做数列}{na的k方数列（其中an0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。（1）比较S（1，2）·S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；（2）若}{na的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求}{na的k方数列通项公式。（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列}{na的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列}{na的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。11．记函数)()(1xfxf，)())((2xfxff,它们定义域的交集为D,若对任意的Dx,xxf)(2，则称)(xf是集合M的元素．（1）判断函数12)(,1)(xxgxxf是否是M的元素；（2）设函数)1(log)(xaaxf，求)(xf的反函数)(1xf，并判断)(xf是否是M的元素；（3）若xxf)(，写出Mxf)(的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将．根据写出的函数类型酌情给分．．．．．．．．．．．．．）12．已知抛物线)0(2:2ppxyC上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程．（2）设直线)0(kbkxy与抛物线C交于两点),(,),(2211yxByxA，且)0(||21aayy，M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点FE,，得到ADE和BDF；按此方法继续下去．解决下列问题：1)．求证：22)1(16kkba；2)．计算ABD的面积ABDS；3)．根据ABD的面积ABDS的计算结果，写出BDFADE,的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．13．设椭圆:C1222yax（0a）的两个焦点是)0,(1cF和)0,(2cF（0c），且椭圆C与圆222cyx有公共点．（1）求a的取值范围；（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为23，求椭圆的方程；（3）对（2）中的椭圆C，直线:lmkxy（0k）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点)1,0(A，求实数m的取值范围．14．我们用},,,min{21nsss和},,,max{21nsss分别表示实数nsss,,,21中的最小者和最大者．（1）设}cos,min{sin)(xxxf，}cos,max{sin)(xxxg，]2,0[x，函数)(xf的值域为A，函数)(xg的值域为B，求BA；（2）数学课上老师提出了下面的问题：设1a，2a，…，na为实数，Rx，求函数||||||)(2211nnxxaxxaxxaxf（Rxxxn21）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数|1||1|3|2|)(xxxxf和|2|2|1|4|1|)(xxxxg的最值．学生甲得出的结论是：)}1(),1(),2(min{)]([minfffxf，且)(xf无最大值．学生乙得出的结论是：)}2(),1(),1(max{)]([maxgggxg，且)(xg无最小值．·F1xOyF2·请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．15．设向量)2(，xa，)12(xnxb，(n为正整数)，函数bay在[0，1]上的最小值与最大值的和为na，又数列nb满足：12121999121101010nnnnnbnbbb．(1)求证：1nan．(2)(2)．求nb的表达式．(3)若nnncab，试问数列nc中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有nkcc成立？证明你的结论．（注：)(21aaa，与21aaa，表示意义相同）16、设斜率为1k的直线L交椭圆C：1222yx于BA、两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为2k（其中O为坐标原点，假设1k、2k都存在）．（1）求1k2k的值．（2）把上述椭圆C一般化为22221xyab（a＞b＞０），其它条件不变，试猜想1k与2k关系(不需要证明)．请你给出在双曲线22221xyab（a＞０，b＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．17．已知向量(1,1)m,向量n与向量m夹角为34，且1mn．（1）求向量n；（2）若向量n与向量(1,0)q的夹角为2,(cos,2cos)22CpA向量，其中A，C为ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求求|np|的取值范围．18．如图，过椭圆)0(12222babyax的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．(1)求椭圆1522yx的“左特征点”M的坐标；(2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。ABMFOyx19．如图，已知圆C：222(1)(1)xyrr，设M为圆C与x轴左半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上。（1）当r=2时，求满足条件的P点的坐标；（2）当(1,)r时，求N的轨迹G方程；（3）过点P（0，2）的直线l与（2）中轨迹G相交于两个不同的点M,N，若0CMCN，求直线l的斜率的取值范围。20．函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足()2()2xfxf且(1)1f，在每个区间111(,]22ii（i1，2……）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。（1）求f(0)及1()2f，1()4f的值，并归纳出1()(1,2,)2ifi的表达式（不必证明）；（2）设直线12ix，112ix，x轴及()yfx的图象围成的梯形的面积为ia（i1，2……），记12()lim()nnSkaaa，求()Sk的表达式，并写出其定义域和最小值。