2011年高考数学高频考点13导数

2011年高考数学高频考点13、导数命题动向在近几年的高考试卷中有关导数应用的试题所占的比重都很大，且大多以解答题的形式出现．导数是高考命题的一个重要载体，通过导数可以实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的综合考查．求解导数应用方面的试题渗透着各种重要的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、等价转化等思想，所以导数的应用是高考的一个热点，在复习中应引起足够重视.押猜题22（理）已知函数axaxxaxf(ln)(22R).（1）我们称使)(xf0成立的x为函数的零点.证明：当1a时，函数)(xf只有一个零点；（2）若函数)(xf在区间),1(上是减函数，求实数a的取值范围.解析（1）当1a时，xxxxfln)(2，其定义域为（0，+∞），xxxxxxf12112)(2，令)(xf0，解得21x或,1x又0x，故1x.当10x时，0)(xf；当1x时,0)(xf.所以函数)(xf在区间)1,0(上单调递增，在区间),1(上单调递减，当1x时，函数)(xf取得最大值，即,0)1()(maxfxf故函数)(xf只有一个零点.（2）因为axxaxxf22ln)(，其定义域为（0，+∞），所以axaxxf221)(xaxaxxaxxa)1)(12(1222.①当0a时，01)(xxf，∴)(xf在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意.②当0a时，)0(0)(xxf等价于axxaxax1),0(0)1)(12(即，此时)(xf的单调减区间为（a1，+∞）.依题意，得.0,11aa解之得.1a③当0a时，)0(0)(xxf等价于),0(0)1)(12(xaxax即,21ax此时)(xf的单调减区间为).,21(a依题意得.0,121aa解之得.21a综上所述，实数a的取值范围是).,1[]21,(点评本题是函数的综合题，考查了函数及其性质、导数及其应用、不等式等基础知识.导数是研究函数性质的有力工具，在探讨极值、单调性、不等式等有关问题时，要充分发挥导数的工具作用.第（2）问将问题转化为二次不等式问题，涉及到对参数a分类讨论，此类试题的解法一定要熟练掌握.（文）已知函数dcxbxxxf23)(有两个极值点,2,121xx且直线16xy与曲线)(xfy相切于P点.（1）求b和c；（2）求函数)(xfy的解析式；（3）当d为整数时，求过P点和曲线)(xfy相切于一异于P点的直线方程.解析（1）设直线16xy与曲线dcxbxxy23相切于点),(00yxP.dcxbxxxf23)(有两个极值点,2,121xx于是.693)2)(1(323)(22xxxxcbxxxf从而.6,29cb（2）由（1）可知,629)(23dxxxxf注意到),(00yxP为切点，则.6693,629,1602002030000xxdxxxyxy③②①由③求得00x或,30x由①②联立知.2913020xxd当00x时，1d；当30x时，.229d1629)(23xxxxf或.229629)(23xxxxf（3）由（2）知当d为整数时，1d符合条件，此时P点坐标为),1,0(设过)1,0(P的直线1:kxyl和162923xxxy相切于另一点),,(11yx则.693,1629,112112131111xxkxxxykxy⑥⑤④由④⑤及01x可知：,xxxkx121311629即.629121xxk再联立⑥可知,693629121121xxxxk又,01x,491x此时.1615k故所求切线方程为：.11615xy点评本题主要考查导数的工具性和传接性.第（1）问抓住两个极值点是方程0)(xf的两个根即可；第（2）问注意区分“过某点的切线”和“在某点处的切线”是正确求解的前提；第（3）问注意新增的限制条件再按第（2）问的思路推理即可.此题符合考试大纲导数部分对文科考生的要求.