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2012学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2012•黄浦区二模）函数f（x）=的定义域为（﹣，+∞）．考点：对数函数的定义．专题：计算题．分析：根据对数函数的性质可知对数函数的真数大于0，建立不等关系，解之即可求出所求．解答：解：∵2x+1＞0∴x＞﹣即函数f（x）=的定义域为（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）点评：本题主要考查了对数函数的定义域，掌握对数函数的性质是关键，属于基础题．2．（4分）设集合，则A∩B=．考点：交集及其运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：集合A与集合B的公共部分构集合A∩B，由此利用集合，能求出集合A∩B．解答：解：∵集合={x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B={x|﹣＜x≤1}．故答案为：（﹣，1]．点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式性质的合理运用．3．（4分）已知角θ的终边过点P（﹣3，4），则sinθ+cosθ的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用任意角的三角函数的定义，可求得sinθ，cosθ，从而可得sinθ+cosθ的值．解答：解：∵θ的终边过点P（﹣3，4），∴cosθ==﹣，sinθ==，∴sinθ+cosθ=+（﹣）=．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，根据θ的终边过点P（﹣3，4），求得sinθ，cosθ是关键，属于基础题．4．（4分）若函数f（x）=+1的反函数为f﹣1（x），则方程f﹣1（x）=4的解为x=3．考点：反函数．专题：计算题；综合题．分析：先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后代入方程f﹣1（x）=4求解．解答：解：由，得：，所以x=（y﹣1）2（y≥1），所以原函数的反函数为f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥1），由f﹣1（x）=4，得：（x﹣1）2=4，解得：x=﹣1（舍）或x=3．所以方程f﹣1（x）=4的解为x=3．故答案为3．点评：本题考查反函数的求法，考查了一元二次方程的解法，此题是基础题．5．（4分）若0≤x≤π，则方程2•cosx+1=0的解x=．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：把2cosx+1=0，等价转化为cosx=﹣，已知0≤x≤π，根据三角函数的性质求出x；解答：解：∵0≤x≤π，则方程2•cosx+1=0，∴cosx=﹣，x=2kπ±，k∈Z．因为0≤x≤π，∴x=，故答案为：；点评：本题考查三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，此题是一道基础题；6．（4分）设等差数列{an}的前n项之和为Sn满足S10﹣S5=20，那么a8=4．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据数列前n项和的定义S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即可求．解答：解：根据数列前n项和的定义得出：S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为5a8=20，a8=4故答案为：4．点评：本题考查等差数列的性质，属于基础题．7．（4分）若函数的最小正周期为π，则=．考点：三角函数的周期性及其求法；函数的值．专题：计算题．分析：由周期公式及已知的周期求出ω的值，确定出函数解析式，将x=代入，计算即可得到所求式子的值．解答：解：∵T=π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），则f（）=2sin（π+）=﹣2×=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及函数的值，其中确定出函数解析式是解本题的关键．8．（4分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．9．（4分）（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=20吨．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．解答：解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于基础题．10．（4分）已知等比数列{an}的各项和为1，则a1的取值范围为（0，1）∪（1，2）．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由无穷等比数列的各项和可得：=1，|q|＜1且q≠0，然后通过不等式的知识可得答案．解答：解：由题意可得：=1，|q|＜1且q≠0，故可得a1=1﹣q，由|q|＜1可得﹣1＜q＜1，且q≠0故0＜1﹣q＜2，且1﹣q≠1，∴0＜a1＜，2且a1≠1，故答案为：（0，1）∪（1，2）点评：本题考查无穷等比数列的各项和，解题的关键是由数列的前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，属中档题．11．（4分）已知=，则的值为．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：依题意，可求得tanα的值，利用倍角公式将将转化为关于tanα的关系式，代入即可．解答：解：∵tan（+α）==，∴tanα=﹣，∴==tanα+1=．故答案为：．点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，着重考查两角和的正切，切化弦是关键，属于中档题12．（4分）已知数列{an}满足an=，则a2011=3．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：由条件可得当n≥5时，an=an﹣8，故此数列的值具有周期性，周期等于8，故有a2011=a3，由此求得结果．解答：解：数列{an}满足an=，当n≥9时，an=an﹣8，故此数列的值具有周期性，周期等于8，∴a2011=a（2011﹣8×251+3）=a3=3，故答案为3．点评：本题主要考查数列的概念以及简单表示法，利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．13．（4分）设函数f（x）=bcosx+csinx的图象经过两点（0，1）和，对一切x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，则实数a的取值范围[﹣2，1]．考点：绝对值不等式的解法；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：依题意可求得b=1，c=，从而可根据x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，利用正弦函数的性质解决．解答：解：依题意得：f（0）=bcos0+csin0=b=1，f（）=bcos+csin=c=，∴f（x）=cosx+sinx=2sin（x+）．又x∈[0，π]，∴≤x+≤，∴﹣≤sin（x+）≤1，∴﹣1≤2sin（x+）≤2，即﹣1≤f（x）≤2，∴﹣2≤﹣f（x）≤1；∵|f（x）+a|≤3恒成立，∴﹣3≤f（x）+a≤3，∴﹣3﹣f（x）≤a≤3﹣f（x）．∴a≥[﹣3﹣f（x）]max=﹣2且a≤[3﹣f（x）]min=1，∴﹣2≤a≤1．∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查两角和与差的正弦函数与正弦函数的单调性，考查综合分析与应用能力，属于难题．14．（4分）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，n=1，2，3，…．满足fn（x）=x的点称为f的n阶周期点．设f（x）=则f的2阶周期点的个数是4．考点：函数与方程的综合运用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，再求2阶周期点的个数．解答：解：当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶周期点的个数是2；当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶周期点的个数是22=4．故答案为：4．点评：本题考查函数的2阶周期点的个数的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的灵活运用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2012•上海二模）“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由|x﹣3|＞0解得x≠3，而集合{x|x＞3}是集合{x|x≠3}的真子集，可得“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的充分非必要条件．解答：解：由|x﹣3|＞0解得x≠3，而集合{x|x＞3}是集合{x|x≠3}的真子集，故“x＞3”能推出“|x﹣3|＞0”；而“|x﹣3|＞0”不能推出“x＞3”，故“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的充分非必要条件，故选A点评：本题考查解决条件问题一般先化简各命题、考查将判断条件问题转化为对应的集合的包含关系问题．16．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=x3，x∈RB．y=sinx，x∈RC．y=lgx，x＞0D．y=，x∈R考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性及单调性的定义逐项判断即可．解答：解：y=sinx是奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=lgx在定义域内单调递增，但不是奇函数，故排除C；y=是增函数但不是奇函数，故排除D．而y=x3既是奇函数又是增函数，故选A．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，准确理解其定义是解决该类题目的基础．17．（5分）函数的图象如图所示，则y的表达式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：由=﹣可求得ω，再由ω+φ=+2kπ，|φ|＜，可求得φ，而A易知，从而可得答案．解答：解：由图可知，A=2，又=﹣=，∴T==π，∴ω=2；∴×2+φ=2kπ+，∴φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴y的表达式为y=2sin（2x﹣）．故选D．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ是难点，属于中档题．18．（5分）已知数列{an}中，，点（n，2an+1﹣an）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…，设bn=an+1﹣an﹣1，则数列{bn}是（）A．等比数列B．等差数列C．常数数列D．既不是等比数列也不是等比数列考点：数列递推式；数列的函数特性；等比关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用点（n，2an+1﹣an）在直线y=x上，可得2an+1=an+n，根据bn=an+1﹣an﹣1，bn+1=an+2﹣an+1﹣1，可得2bn+1