2012届甘肃高三上学期数学文期中试题

甘肃省兰州2012届高三上学期期中考试（数学文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A=6|1,1xxRx，B={x|x2-2x-30}，那么A∩（CRB）为（）A．（-1，5）B．（-1，3）C．（-∞，-1）∪[3，+∞）D．[3，5]2．与函数lg(1)10xy的图象相同的函数是（）A．y=x-1B．y=112xxC．y=|x-1|D．y=2)11(xx3．若曲线2yxaxb在点（0，b）处的切线方程是10xy，则（）A．1,1abB．1,1abC．1,1abD．1,1ab4．某个容量为100的样本的频率分布直方图如右，则在区间[4,5）上的数据的频数为（）A．70B．0.3C．30D．0.75．设某种产品分两道工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就出次品，则该产品的次品率是（）A．0．13B．0．03C．0．127D．0．9736．已知(,)2，3sin5，则tan()4等于（）A．17B．7C．17D．77．已知函数()fx的反函数为)0(lg21)(xxxg，则)1()1(gf、（）A．0B．1C．2D．4频率/组距数据0.400.150.100.05O1453268．函数y=223(0)23(02)5(2)xxxxxxx的最大值是（）A．3B．4C．8D．59．设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则（）A．acbB．bcaC．abcD．bac10．等差数列{an}中，a1+a2+a8=10，a14+a15=50，则此数列的前15项之和是（）A．146B．180C．210D．24211．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．a0B．a0C．a-1D．a112．若关于x的不等式2－2x|x－a|至少有一个负数解，则a的取值范围是（）A．9,24B．（－2，2）C．92,4D．（－2，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，函数F（x）=af（x）+bg（x）+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F（x）在（－∞，0）上的最小值是．14．已知数列{na}的前n项和25nnS（*nN），那么数列{na}的通项na=．15．关于函数f（x）=4sin（2x+3）（xR），有下列命题：①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2必是的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x－6）；③y=f（x）的图象关于点（－6,0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=－512对称．其中正确命题的序号是．16．已知函数)(xf对任意实数、pq都满足()()()fpqfpfq，1(1)3f且，则当*nN时，函数)(nf的表达式为．三、解答题：（本大题有6小题，共70分；应按题目要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）已知函数22()sin3sincos2cos,fxxxxxxR．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若,2x，求函数)(xf的值域．18．（本题10分）解关于x的不等式：22log(2)1log()aaxxxa（a＞0，a≠1）．19．（本题12分）已知函数21()(,,0,*)axfxacRabNbxc是奇函数，当x0时，)(xf有最小值2，且f（1）25．（Ⅰ）试求函数)(xf的解析式；（Ⅱ）函数)(xf图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20．（本题12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是21，构造数列na，使得1()1()nnan当第次出现正面时当第次出现反面时，记)(*21NnaaaSnn．（Ⅰ）求24S的概率；（Ⅱ）若前两次均出现正面，求426S的概率．21．（本题13分）已知数列{na}中12a，nnaa121，数列}{nb中11nnab，其中*Nn．（Ⅰ）求证：数列{nb}是等差数列；（Ⅱ）设nS是数列{13nb}的前n项和，求12111nSSS；（Ⅲ）设nT是数列1{()}3nnb的前n项和，求证：34nT．22．（本题13分）已知函数f（x）=ax3+x2-ax，其中a，x∈R．（Ⅰ）当1a时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x[0，3]时，函数f（x）在0x处取得最小值，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DDACCACBDBCA二、填空题：（每小题5分，共20分）13．-1；14．1*7(1)2(2,)nnnnN；15．②③④；16．13n三、解答题：（共70分）17．（本题10分）解：（I）1cos23()sin2(1cos2)22xfxxx3133sin2cos2sin(2).22262xxx……………3分()fx的最小正周期2.2T……………4分由题意得222,,262kxkkZ即,.36kxkkZ()fx的单调增区间为,,.36kkkZ……………7分（Ⅱ）若,2x,则7132,666x,1sin(2)[1,]62x,1()[,2]2fx．……………10分18．（本题10分）解：原不等式等价于)2(log)2(log2axxxaa……①……………1分①当1a时，①式可化为22,02,0222axxxaxxx即,22,022axxxax亦即10,2axxax或∴xa+1………………5分②当10a时，①式可化为22,02,0222axxxaxxx即22,0222axxxxx亦即1021axxx或∴x………………9分综上所述，当1a时，原不等式的解集为}1|{axx；当10a时，原不等式的解集为．．………………10分19．（本题12分）解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数∴f（―x）=―f（x）,0c…………2分22211)(0,0babxxbabxaxxfba当且仅当ax1时等号成立．则2222baba……4分由5(1)2f得152abc，即2152bb，解得122b…………6分又bN，11baxxxf1)(……………………………………………7分（Ⅱ）设存在一点（x0，y0）在y=f（x）图象上，则关于（1，0）的对称点（02x，―y0）也在y=f（x）图象上，…………8分则200020001(2)12xyxxyx解得：001222xy或001222xy∴函数f（x）图象上存在两点(12,22)和(12,22)关于点（1，0）对称．…………………………………12分20．（本题12分）解：（Ⅰ）24S，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为1P则41)21(421)21(43341CP；……………………6分（Ⅱ）6次中前两次均出现正面，要使426S，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为2P．则2223324411115()()()22228PCC．…………12分21．（本题13分）解（Ⅰ）11111111nnnnnabaaa，而11nnba，∴11111nnnnnabbaa．*Nn∴{nb}是首项为11111ba，公差为1的等差数列．…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知nbn，111(1).(12)3336nnnnbnSn,于是16(1)nSnn=116(),1nn故有12111nSSS111116(1)2231nn=616(1)11nnn．………………………8分（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知1()3nnb1()3nn,则211112()().333nnTn231111111()2()1()33333nnnTnn．则232111()()3333nT+…+111()()33nnn11111()()233nnn，∴nT131113()()443234nnn．………………………13分22．（本题13分）解：（Ⅰ）当1a时，32()fxxxx．231(2)xxxf,由0()fx得113x,即当1a时，函数f（x）的单调递减区间为1(1,)3．…………3分（Ⅱ）解法一：2()32fxaxxa依题意知方程()0fx在区间（1，2）内有不重复的零点，………5分而24120a,由2320axxa得2(31)2axx∵x∈（1，2），∴2(31)0x,∴2231xax；令2231xux（x∈（1，2）），则213uxx，∴2231xux在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为4(1,)11，故a的取值范围是4(1,)11．………………………8分解法二：2()32fxaxxa依题意知方程()0fx即2320axxa在区间（1，2）内有不重复的零点，当a=0时，得x=0，但0（1，2）；当a≠0时，方程2320axxa的△=4+12a20，120xx,必有两异号根，欲使f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，方程2320axxa在（1，2）内一定有一根，设2()32Fxaxxa，则F（1）·F（2）0，即（2a+2）（11a+4）0，解得4111a，故a的取值范围是4111a．（解法二得分标准类比解法一）（Ⅲ）由题可知当x[0，3]时，()(0)fxf即320axxax恒成立,又x[0，3],则20axxa恒成立．………………………9分记2()hxaxxa当0a时，()0hxx在x[0，3]时恒成立,符合题意；当0a时，由于(0)0ha，则不符合题意；当0a时，由于(0)0ha，则只需(3)830ha，得38a，即308a．………………………12分综上,308a．………………………13分