2012届高三数学一轮复习不等式基本不等式练习题2

第7章第2节一、选择题1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋1xB．y＝cosx＋1cosx0xπ2C．y＝x2＋3x2＋2D．y＝ex＋4ex－2[答案]D[解析]x0时，y＝x＋1x≤－2，故A错；∵0xπ2，∴0cosx1，∴y＝cosx＋1cosx≥2中等号不成立，故B错；∵x2＋2≥2，∴y＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号也取不到，故C错，∴选D.2．(文)(2010·山东潍坊质检)已知x0，y0，且2x＋1y＝1，若x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2[答案]D[解析]∵x0，y0，且2x＋1y＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(2x＋1y)＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号，又2x＋1y＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2ym2＋2m恒成立，只需(x＋2y)minm2＋2m，即8m2＋2m，解得－4m2.(理)(2010·东北师大附中)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D．不存在[答案]A[解析]由已知an0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋2a6q，∴q2－q－2＝0，∵q0，∴q＝2，∵aman＝4a1，∴a12·qm＋n－2＝16a12，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥165＋2nm·4mn＝32，等号在nm＝4mn，即n＝2m＝4时成立．3．(2010·茂名市模考)“a＝14”是“对任意的正数x，均有x＋ax≥1”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案]A[解析]∵a＝14，x0时，x＋ax≥2x·ax＝1，等号在x＝12时成立，又a＝4时，x＋ax＝x＋4x≥2x·4x＝4也满足x＋ax≥1，故选A.4．(2010·广西柳州市模考)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件[答案]A[解析]a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正数时，由1＝a＋b≥2ab得4ab≤1成立，故a＋b＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.5．若a0，b0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]∵12为a、b的等差中项，∴a＋b＝12×2＝1.a＋1a＋b＋1b⇒1＋1a＋1b＝1＋a＋bab＝1＋1ab，∵ab≤a＋b2，∴ab≤＋4＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.6．(文)若直线2ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值是()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1.∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥4.当且仅当a＝b＝12时取等号．(理)半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为()A．8B．16C．32D．64[答案]C[解析]根据题意可知，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．故a2＋b2＋c2＝64，而S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝12(ab＋ac＋bc)≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c24＝a2＋b2＋c22＝32.等号在a＝b＝c＝833时成立．7．(文)已知c是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的半焦距，则b＋ca的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，2)D．(1，2][答案]D[解析]由题设条件知，ab＋c，∴b＋ca1，∵a2＝b2＋c2，∴＋a2＝b2＋c2＋2bca2≤＋a2＝2，∴b＋ca≤2.故选D.(理)已知F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若|PF1|2|PF2|的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2]C．(1，3]D．(1,3][答案]D[解析]|PF1|2|PF2|＝＋|PF2|＝4a2|PF2|＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当4a2|PF2|＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c，即e＝ca≤3，∴e∈(1,3]．8．(2010·南昌市模拟)已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴0a1，设t＝2a，则t∈(1,2)，M＝2a＋2b＝2a＋21－a＝t＋2t≥22，等号在t＝2时成立，又t＝1或2时，M＝3，∴22≤M3，故选B.9．(2010·河南新乡调研)已知全集R，集合E＝{x|bxa＋b2}，F＝{x|abxa}，M＝{x|bx≤ab}，若ab0，则集合M等于()A．E∩FB．E∪FC．E∩(∁RF)D．(∁RE)∩F[答案]C[解析]∵ab0，∴a＝a＋a2a＋b2abb2＝b，如图可见集合M在E中，不在F中，故M＝E∩∁RF.10．(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若AB→＝λAE→(λ0)，AC→＝μAF→(μ0)，则1λ＋4μ的最小值是()A．9B.72C．5D.92[答案]D[解析]ED→＝AD→－AE→＝12(AB→＋AC→)－AE→＝12(λAE→＋μAF→)－AE→＝λ2－1AE→＋μ2AF→，EF→＝AF→－AE→.∵ED→与EF→共线，且AE→与AF→不共线，∴λ2－1－1＝μ21，∴λ＋μ＝2，∴1λ＋4μ＝121λ＋4μ(λ＋μ)＝125＋μλ＋4λμ≥92，等号在μ＝43，λ＝23时成立．(理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则mn的最大值为()A.12B．1C．2D．3[答案]B[解析]以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，∴AM→＝AB→m，AN→＝AC→n，∴M0，2m、N2n，0，∴直线MN的方程为my2＋nx2＝1，∵直线MN过点P(1,1)，∴m2＋n2＝1，∴m＋n＝2，∵m＋n≥2mn，∴mn≤＋4＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.二、填空题11．(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知b0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋4)y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．[答案]4[解析]∵两直线垂直，∴ab2－(b2＋4)＝0，∴a＝b2＋4b2，∵b0，∴ab＝b2＋4b＝b＋4b≥4，等号在b＝4b，即b＝2时成立．12．(文)(2010·重庆文，12)已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．[答案]－2[解析]y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4因为t0，y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2.等号在t＝1t，即t＝1时成立．(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝8x的图象都过点A，且点A在直线xm＋y2n＝1(m0，n0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．[答案]4[解析]由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线xm＋y2n＝1(m0，n0)上，所以1＝2m＋42n≥22m·42n，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，故log2m＋log2n的最小值为4.13．(文)(2010·南充市)已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则1a＋1b＋1c的最小值为________．[答案]6＋42[解析]1a＋1b＋1c＝a＋2b＋ca＋a＋2b＋cb＋a＋2b＋cc＝2ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋2bc＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc同时成立时成立．即a＝c＝2b＝1－22时等号成立．(理)(2010·北京延庆县)已知x0，y0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最大值是________．[答案]112[解析]∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴2x·8y＝2，即2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1，∴xy＝13x·(3y)≤13·x＋3y22＝112，等号在x＝3y，即x＝12，y＝16时成立．14．(文)(2010·重庆一中)设M是△ABC内一点，且AB→·AC→＝23，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(M)＝12，x，y，则1x＋4y的最小值是________．[答案]18[解析]∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos30°＝32|AB|·|AC|＝23，∴|AB|·|AC|＝4，由f(M)的定义知，S△ABC＝12＋x＋y，又S△ABC＝12|AB|·|AC|·sin30°＝1，∴x＋y＝12(x0，y0)∴1x＋4y＝2(x＋y)1x＋4y＝25＋yx＋4xy≥2(5＋24)＝18，等号在yx＝4xy，即y＝2x＝13时成立，∴1x＋4ymin＝18.(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．[答案]2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为xa＋yb＝1，则aba2＋b2＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a0，b0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝a2＋b2≥2ab≥2.三、解答题15．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．[解析](1)∵由条件知，sinβ＝22sinπ4－β，整理得32sinβ－12cosβ＝0，∵β为锐角，∴tanβ＝13.(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，∴tanβ＝sinαcosα1＋sin2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α＝tanα2tan2α＋1＝12tanα＋1tanα≤122＝24.当且仅当1tanα＝2tanα时，取“＝”号，∴tanα＝22时，tanβ取得最大值24，此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2.16．(文)(2010·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为