2012届高三数学一轮复习数列练习题1

第6章第1节一、选择题1．(2010·重庆文，2)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10[答案]A[解析]由等差中项知2a5＝a1＋a9＝10，所以a5＝5，故选A.2．(文)若数列{an}的前n项和公式为Sn＝log3(n＋1)，则a5等于()A．log56B．log365C．log36D．log35[答案]B[解析]a5＝S5－S4＝log36－log35＝log365.(理)(2010·常德市检测)已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{an2}的前n项的和为()A．4n－1B.13(4n－1)C.43(4n－1)D．(2n－1)2[答案]B[解析]n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an＝2n－1(n∈N*)．设bn＝an2，则bn＝(2n－1)2＝4n－1，∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n项和Tn＝－4－1＝13(4n－1)．3．(2009·广东湛江模拟)已知数列{an}的通项an＝nanb＋c(a，b，c∈(0，＋∞))，则an与an＋1的大小关系是()A．anan＋1B．anan＋1C．an＝an＋1D．不能确定[答案]B[解析]an＝nanb＋c＝ab＋cn，∵y＝cn是单调减函数，∴an＝ab＋cn为递增数列，因此anan＋1，故选B.4．设an＝－3n2＋8n－1，则数列{an}中的最大项的值是()A.133B．4C．3D.163[答案]B[解析]∵an＝－3(n－43)2＋133，且n∈Z，∴当n＝1时，an取最大值，即最大值为a1＝4.5．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝2n＋1C．an＝4n＝12n－1n≥2D．an＝4n＝12n＋1n≥2[答案]D[解析]a1＝S1＝4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，∴an＝4n＝12n＋1n≥2.6．如果f(a＋b)＝f(a)·f(b)(a，b∈R)且f(1)＝2，则＋＋＋…＋等于()A．2007B．2009C．2008D．2010[答案]D[解析]令a＝n，b＝1，f(n＋1)＝f(n)·f(1)，∴＋＝f(1)＝2，∴＋…＋＝2×1005＝2010.7．(2010·山东济南)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－1an，记数列{an}的前n项之积为Πn，则Π2010的值为()A．－12B．－1C.12D．1[答案]D[解析]∵an＋2＝1－1an＋1＝1－11－1an＝1－anan－1＝11－an，an＋3＝1－1an＋2＝1－111－an＝1－(1－an)＝an，∴{an}是周期为3的周期数列，又a1＝2，a2＝1－12＝12，a3＝11－a1＝－1，从而Π3＝－1，∴Π2010＝(－1)670＝1，故选D.8．(09·湖北)设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则5＋12，5＋12，5＋12()A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列[答案]B[解析]∵5＋12＝1，∴5＋12＝5＋12－1＝5－12.一方面：5－12＋5＋12＝5≠1×2，∴不成等差数列．另一方面：5＋12×5－12＝5－14＝1＝12，∴三者成等比数列．故选B.9．(文)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是()A．34950B．35000C．35010D．35050[答案]A[解析]在按“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有＋2＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.(理)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为()11121213161314112112141512013012015…A.11260B.1840C.1504D.1360[答案]B[解析]设第n行第m个数为a(n，m)，则由题意知a(7,1)＝17，a(8,1)＝18，a(9,1)＝19，a(10,1)＝110，故a(10,2)＝a(9,1)－a(10,1)＝19－110＝190；a(8,2)＝a(7,1)－a(8,1)＝17－18＝156；a(9,2)＝a(8,1)－a(9,1)＝172；a(10,3)＝a(9,2)－a(10,2)＝1360；a(9,3)＝a(8,2)－a(9,2)＝1252；a(10,4)＝a(9,3)－a(10,3)＝1840.[点评]依据“莱布尼兹调和三角形”的规则可知a(n，m)＝a(n＋1，m)＋a(n＋1，m＋1)．10．(2010·鞍山市检测)函数f(x)满足：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，且对任意正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}满足f(an＋1)－f(an)＝f(3)，n∈N＋，a3＝27，则a1的值为()A．1B．3C．6D．9[答案]B[解析]当x＝y＝1时，f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，∴f(x·1x)＝f(x)＋f(1x)(x0)，即f(1x)＝－f(x)，∴对任意正数x、y都有f(x)－f(y)＝f(x)＋f(1y)＝f(xy)，∴由f(an＋1)－f(an)＝f(3)得f(an＋1an)＝f(3)，∵函数f(x)满足，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，∴an＋1an＝3，∵a3＝27，∴a1＝3.二、填空题11．(2010·金华十校)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝________.[答案]320[解析]由log2an＋1＝1＋log2an得，an＋1an＝2，∴{an}是等比数列，∴a8＝a3×25＝320.12．(2010·安师大附中)观察下图：12343456745678910……则第________行的各数之和等于20092.[答案]1005[解析]通过观察题图可发现规律：第n行的第一个数为n，且第n行共有2n－1个连续的正整数，故有(2n－1)n＋－－2×1＝(2n－1)2＝20092，∴n＝1005.13．已知an＝n的各项排列成如图的三角形状：记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(21,12)＝________.a1a2a3a4a5a6a7a8a9…………………………[答案]412[解析]由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n行有2n－1个数，故前n行有Sn＝n[1＋－2＝n2个数，因此前20行共有S20＝400个数，故第21行的第一个数为401，第12个数为412，即A(21,12)＝412.14．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝________.[答案]n2－2n＋21[解析]∵an＋1－an＝2n－1，∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，n≥2.∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝－－2＝(n－1)2.∴an＝20＋(n－1)2＝n2－2n＋21.三、解答题15．(文)已知等差数列{an}中，d0，a3a7＝－16，a2＋a8＝0，设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.求：(1){an}的通项公式an；(2)求Tn.[解析](1)设{an}的公差为d，则＋＋＝－16a1＋d＋a1＋7d＝0，∴a1＋8da1＋12d2＝－16a1＝－4d，解得a1＝－8d＝2或a1＝8d＝－2(舍去)∴an＝2n－10.(2)当1≤n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－－8＋2n－102·n＝9n－n2.当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋a6＋a7＋…＋an＝－2(a1＋a2＋…＋a5)＋a1＋a2＋…＋an＝－2×－＋2＋－8＋－2·n＝n2－9n＋40.综上，Tn＝9n－n2n2－9n＋.(理)(2010·湖北黄冈)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1·3n－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}的前n项和Sn＝log3an9n(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{|bn|}的前n项和．[解析](1)log3an＝log3(an－1·3n－1)＝log3an－1＋(n－1)，∴log3an－log3a1＝(log3a2－log3a1)＋(log3a3－log3a2)＋…＋(log3an－log3an－1)＝1＋2＋…＋(n－1)＝－2，∴log3an＝n－2，∴Sn＝log3an9n＝n2－5n2(n∈N)*∴b1＝S1＝－2，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n－3，∴数列{bn}的通项公式bn＝n－3(n∈N*)．(2)设数列{|bn|}的前n项和为Tn，当bn＝n－3≤0即n≤3时，Tn＝－Sn＝5n－n22；当n3时，Tn＝Sn－2S3＝n2－5n＋122.∴Tn＝5n－n22n≤3n2－5n＋122n3.16．(2010·北京东城区)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；(2)若数列{1anan＋1}前n项和为Tn，问满足Tn100209的最小正整数n是多少？[解析](1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1)，得an－an－1＝2(n＝2,3,4，…)．∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列。∴an＝2n－1.(2)Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1－＋＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝121－12n＋1＝n2n＋1由Tn＝n2n＋1100209得n1009，满足Tn100209的最小正整数为12.17．(文)已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－2n3＋49.(1)当m＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．(2)当λ＝－12时，试判断数列{bn}是否为等比数列．[解析](1)证明：当m＝1时，a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.假设数列{an}是等差数列，由a1＋a3＝2a2得，λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－30，∴方程无实根．故对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．(2)当λ＝－12时，an＋1＝－12an＋n，bn＝an－2n3＋49.bn＋1＝an＋1－＋3＋49＝－12an＋n－＋3＋49＝－12an＋n3－29＝－12an－2n3＋49＝－12bn.又b1＝m－23＋49＝m－29，∴当m≠29时，数列{bn}是以m－29为首项，－12为公比的等比数列；当m＝29时，数列{bn}不是等比数列．(理)(2010·重庆中学)设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn＝an2＋2an＋1(n∈N*)．(1)证明{an}是等差数列，并求an；(2)设m、k、p∈N*，m＋p＝2k，求证：1Sm＋1Sp≥2Sk；(3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列