2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题4

第8章第4节一、选择题1．设0≤α2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.0，3π4∪7π4，2πB.π2，3π4C.π2，3π4D.3π4，3π2[答案]C[解析]化为x21sinα＋y2－1cosα＝1，∴－1cosα1sinα0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好是椭圆x225＋y216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为()A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±5y＝0D．5x±4y＝0[答案]A[解析]由题意知双曲线C的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a＝3，c＝5，∴b＝c2－a2＝4，∴渐近线方程为y＝±43x，即4x±3y＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x2a2＋y2b2＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是()A.x24＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x22＋y24＝1D．x2＋y23＝1[答案]A[解析]抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝2，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为x24＋y22＝1.3．分别过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A．(0,1)B.0，22C.22，1D.0，22[答案]B[解析]依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴cb，从而c2b2＝a2－c2，a22c2，即e2＝c2a212，又∵e0，∴0e22，故选B.4．椭圆x2100＋y264＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是()A.6433B.9133C.1633D.643[答案]A[解析]由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝2563，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为()A．y＝±12xB．y＝±2xC．y＝±4xD．y＝±14x[答案]A[解析]∵由椭圆的离心率e＝ca＝32，∴c2a2＝a2－b2a2＝34，∴ba＝12，故双曲线的渐近线方程为y＝±12x，选A.6．(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()A.513B.1213C.35D.45[答案]A[解析]设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故a＋c＝9a－c＝4，∴a＝132c＝52，∴e＝ca＝513.(理)(2010·北京崇文区)已知点F，A分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则椭圆的离心率等于()A.3＋12B.5－12C.3－12D.5＋12[答案]B[解析]∵FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)，FB→·AB→＝0，∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，∵e0，∴e＝5－12.7．(2010·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若PF1→·PF2→＝0，则1e12＋1e22＝()A．2B.2C.3D．3[答案]A[解析]设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a′，焦距为2c，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a′，|PF1|＋|PF2|＝2a，将两式两边平方相加得：|PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a′2)，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，∴1e12＋1e22＝1ca2＋1ca′2＝a2＋a′2c2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x24＋y22＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝83；正确结论的个数为()A．3B．2C．1D．0[答案]A[解析]∵a＝2，∴△ABF1的周长为|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故①正确；∵F2(2，0)，∴l：y＝x－2，原点到l的距离d＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y＝x－2代入x24＋y22＝1中得3x2－42x＝0，∴x1＝0，x2＝423，∴|AB|＝1＋12423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]B[解析]点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．(理)F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]A[解析]∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，∴|OQ|＝12|AF2|＝12(|PA|＋|PF2|)＝a，∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．10．(文)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围是()A.14，49B.23，1C.12，23D.0，12[答案]C[解析]点B的横坐标是c，故B的坐标c，±b2a，已知k∈13，12，∴Bc，b2a.斜率k＝b2ac＋a＝b2ac＋a2＝a2－c2ac＋a2＝1－e2e＋1.由13k12，解得12e23.(理)(2010·宁波余姚)如果AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为()A．e－1B．1－eC．e2－1D．1－e2[答案]C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，x12a2＋y12b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，作差得－＋a2＝－＋b2，∴kAB·kOM＝y2－y1x2－x1·y1＋y2x1＋x2＝－b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．[答案]22[解析]因为∠AOB＝90°，所以∠AOF＝45°，所以ba＝22，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝12，即e＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．[答案]0，22[解析]易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部，故bc，∴b2c2，即a22c2，∴ca22.12．(2010·南充市)已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.[答案]54[解析]易知A，C为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC＝8，由正弦定理知，sinA＋sinCsinB＝|BA|＋|BC||AC|＝54.13．(文)若右顶点为A的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上存在点P(x，y)，使得OP→·PA→＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案]22e1[解析]在椭圆x2a2＋y2a2＝1上存在点P，使OP→·PA→＝0，即以OA为直径的圆与椭圆有异于A的公共点．以OA为直径的圆的方程为x2－ax＋y2＝0与椭圆方程b2x2＋a2y2＝a2b2联立消去y得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，将a2－b2＝c2代入化为(x－a)(c2x－ab2)＝0，∵x≠a，∴x＝ab2c2，由题设ab2c2a，∴a2－c2c21.即e22，∵0e1，∴22e1.(理)已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最大值是________．[答案]10＋210[解析]如图，直线BF与椭圆交于M1、M2.任取椭圆上一点M，则|MB|＋|BF|＋|MA|≥|MF|＋|MA|＝2a＝|M1A|＋|M1F|＝|M1A|＋|M1B|＋|BF|∴|MB|＋|MA|≥|M1B|＋|M1A|＝2a－|BF|.同理可证|MB|＋|MA|≤|M2B|＋|M2A|＝2a＋|BF|，10－210≤|MB|＋|MA|≤10＋210.14．(文)已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程x23＋y2k＝1表示椭圆的概率为________．[答案]12[解析]由条件2π|k|≥2，∴－π≤k≤π，当0k≤π且k≠3时，方程x23＋y2k＝1表示椭圆，∴概率P＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：|x|≤2|y|≤3内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为π4，则椭圆M的方程为________．[答案]x24＋y23＝1[解析]平面区域Ω：|x|≤2|y|≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab83＝π4，即ab＝23.因为0a≤2,0b≤3，所以a＝2，b＝3.所以，椭圆M的方程为x24＋y23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM·kPN＝－14时，求椭圆的方程．[解析](1)∵圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，∴b＝21＋1，得b＝2.又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1.两式相减得：y2－y02x2－x02＝－b2a2.由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则kPM＝y－y0x－x0，kPN＝y＋y0x＋x0，kPM·kPN＝y－y0x－x0·y＋y0x＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，则－b2a2＝－14，由a＝2得b＝1，故所求椭圆的方程为x24＋y2＝