2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题5

第8章第5节一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是()A.17B.15C.174D.154[答案]C[解析]设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1，则由题意得，ab＝4，∴a2c2－a2＝16，∴e＝174.(理)(2010·河北唐山)过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为()A．2B.5C.2D.3[答案]C[解析]如图，FM⊥l，垂足为M，∵M在OF的中垂线上，∴△OFM为等腰直角三角形，∴∠MOF＝45°，即ba＝1，∴e＝2.2．(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[答案]B[解析]在△F1PF2中，由余弦定理cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝－|PF2|－|F1F2|2＋2|PF1|·|PF2|2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c22|PF1||PF2|＋1＝－2b2|PF1|·|PF2|＋1，∵b＝1，∴|PF1|·|PF2|＝4.3．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是()A.233或2B．2或3C.3或62D.233或62[答案]A[解析]焦点在x轴上时，由条件知ba＝13，∴c2－a2a2＝13，∴e＝ca＝233，同理，焦点在y轴上时，ba＝3，此时e＝2.(理)已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为()A．4＋23B.3－1C.3＋12D.3＋1[答案]D[解析]设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和3c.由双曲线的定义知：(3－1)c＝2a，∴e＝23－1＝3＋1.4．已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为()A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x[答案]D[解析]由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，∴双曲线渐近线的斜率k＝±3|n|2|m|＝±34.方程为y＝±34x.5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线x2m－y27＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为()A．8B．9C．16D．20[答案]B[解析]由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B(理)(2010·辽宁锦州)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B－m2，0，Cm2，0(其中m0，且m为常数)，且满足条件sinC－sinB＝12sinA，则动点A的轨迹方程为()A.16y2m2－16x23m2＝1B.x216－y2163＝1C.16x2m2－16y23m2＝1(xm4)D.16x2m2－16y23m2＝1[答案]C[解析]依据正弦定理得：|AB|－|AC|＝12|BC|＝m2|BC|∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，且a＝m4，c＝m2，∴b2＝c2－a2＝3m216∴双曲线方程为16x2m2－16y23m2＝1(xm4)6．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是()A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分[答案]D[解析]延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.∵|QF2|－|QF1|＝2a，∴|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，又|OP|＝12|RF2|，∴|OP|＝a.7．(文)(2010·温州市十校)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋2)D．(2,1＋2)[答案]B[解析]由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A－c，b2a，B－c，－b2a，E(a,0)，因为△ABE是锐角三角形，所以EA→·EB→0，即EA→·EB→＝－c－a，b2a·－c－a，－b2a0，整理得3e2＋2ee4，∴e(e3－3e－3＋1)0，∴e(e＋1)2(e－2)0，解得e∈(0,2)，又e1，∴e∈(1,2)，故选B.(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM＝ME，则该双曲线的离心率为()A．3B．2C.3D.2[答案]D[解析]由条件知l：y＝bax是线段FE的垂直平分线，∴|OE|＝|OF|＝c，又|FM|＝|bc|a2＋b2＝b，∴在Rt△OEF中，2c2＝4b2＝4(c2－a2)，∵e＝ca1，∴e＝2.8．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1[答案]D[解析]直线与双曲线右支相切时，k＝－153，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153k－1.9．(文)(2010·福建理)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)[答案]B[解析]由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P点坐标为(x，y)，则OP→＝(x，y)，FP→＝(x＋2，y)，∵y2＝x23－1，∴OP→·FP→＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1＝43(x＋34)2－74.又∵x≥3(P为右支上任意一点)∴OP→·FP→≥3＋23.故选B.(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1[答案]B[解析]设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：x12a2－y12b2＝1x22a2－y22b2＝1，两式作差得：y1－y2x1－x2＝b2＋x2＋y2＝4b25a2，∵kAB＝y1－y2x1－x2，且kAB＝－15－0－12－3＝1，所以4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1，故选B.10．(文)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点垂直于x轴的弦长为12a，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e的值是()A.54B.52C.32D.54[答案]B[解析]将x＝c代入椭圆方程得，c2a2＋y2b2＝1，∴y2＝1－c2a2×b2＝a2－c2a2×b2＝b2a2×b2，∴y＝±b2a.∴b2a＝14a，∴b2＝14a2，e2＝c2a2＝a2＋14a2a2＝54，∴e＝52，故选B.(理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点F恰好是双曲线y2a2－x2b2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为()A.2B．1±2C．1＋2D．无法确定[答案]C[解析]由题意知p2＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b2a，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，∵p＝2c，2b2a＝4c，∴b2＝2ac，∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，解得e＝1±2，∵e1，∴e＝1＋2.二、填空题11．(文)(2010·广东实验中学)已知P是双曲线x2a2－y29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.[答案]5[解析]由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0且b＝3可得：a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|－3＝2，∴|PF1|＝5.(理)(2010·东营质检)已知双曲线x29－y2a＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．[答案]y＝±23x[解析]由题意知9＋a＝13，∴a＝4，故双曲线的实半轴长为a′＝3，虚半轴长b′＝2从而渐近线方程为y＝±23x.12．(2010·惠州市模考)已知双曲线x2a2－y2＝1(a0)的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．[答案]y＝±33x[解析]y2＝8x焦点是(2,0)，∴双曲线x2a2－y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴b＝1，又a0，∴a＝22－12＝3，∴双曲线渐近线的方程是y＝±33x.13．(2010·北京东城区)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案]1e≤2[解析]由题意|PF1|－|PF2|＝2a|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝3a|PF2|＝a，∵|PF1|≥|AF1|，∴3a≥a＋c∴e＝ca≤2，∴1e≤2.14．下列有四个命题：①若m是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为35.②若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝3x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y＝cos2x的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y＝sin2x－π6的图象；④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝a2＋b22；类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上)[答案]①②④[解析]①设双曲线方程为m2x2－y2＝1，∵a2＝1m2，b2＝1，c2＝a2＋b2＝m2＋1m2∴e＝ca＝m2＋14，∴m15∴m取值1、2、3故所求概率为35，故①正确．②根据双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝3x，可得ba＝3，因此离心率e＝ca＝a2＋b2a＝a2＋3a＝2，②正确；③函数y＝cos2x的图象向右平移π6个单位得y＝cos2(x－π6)＝cos(2x－π3)＝sin[π2＋