2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题6

第8章第6节一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4[答案]D[解析]椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝a2－b2＝2，∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p＝4.2．已知点M是抛物线y2＝2px(p0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上三种情形都有可能[答案]B[解析]如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝OF＋CM2＝ON＋CM2＝DM2＝MF2，∴这个圆与y轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)，∴y1＋y22＝2，∵A、B在抛物线y2＝2px上，∴y12＝2px1①y22＝2px2②①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝p2，∵kAB＝1，∴，p＝2∴抛物线方程为y2＝4x，∴准线方程为：x＝－1，故选B.4．双曲线x29－y24＝1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2，抛物线y2＝2px(p0)过点A，则该抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝4xC．y2＝41313xD．y2＝21313x[答案]C[解析]∵双曲线x29－y24＝1的渐近线方程为y＝±23x，F点坐标为(13，0)，设A点坐标为(x，y)，则y＝±23x，由|AF|＝2⇒－13＋23x2＝2⇒x＝913，y＝±613，代入y2＝2px得p＝21313，所以抛物线方程为y2＝41313x，所以选C.5．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92[答案]A[解析]记抛物线y2＝2x的焦点为F12，0，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于122＋22＝172，选A.6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为，则点A的坐标为()A．(2,22)B．(2，－22)C．(2，±2)D．(2，±22)[答案]D[解析]如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S△AMFS△AOF＝12×|AF|×|AM|×sin∠MAF12－∠＝3，∴|AM|＝3，设Ay024，y0，∴y024＋1＝3，解得y0＝±22，∴y024＝2，∴点A的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝－2xB．y2＝－32xC．y2＝4xD．y2＝－4x[答案]D[解析]设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则PQ→∥a，∴x＋32＝y－1－5，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点Fm4，0，∴m＝－4，故选D.8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案]A[解析]若mn0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－mnx应开口向左，故排除C、D；∴mn0，此时抛物线y2＝－mnx应开口向右，排除B，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若FA→＝－4FB→，则直线AB的斜率为()A．±23B．±32C．±34D．±43[答案]D[解析]∵FA→＝－4FB→，∴|FA→|＝4|FB→|，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，∴|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝4t，∴tan∠ABM＝43，由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C的方程为x2＝12y，过点A(0，－4)和点B(t,0)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－22∪22，＋∞C．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D．(－∞，－22)∪(2，＋∞)[答案]B[解析]由题意知方程组x2＝12y①xt＋y－4＝1②无实数解由②得y＝4xt－4，代入①整理得，2x2－4xt＋4＝0，∴Δ＝16t2－320，∴t22或t－22，故选B.[点评]可用数形结合法求解，设过点A(0，－4)与抛物线x2＝12y相切的直线与抛物线切点为M(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，∵过A点，∴－4－2x02＝4x0(0－x0)，∴x0＝±2，∴y0＝4，∴切线方程为y－4＝±42x－8，令y＝0得x＝±22，即t＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t－22或t22.二、填空题11．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP→·BP→取得最小值时的点P的坐标是______．[答案](0,0)[解析]设P－y24，y，则AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→·BP→＝－y24－2－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．[答案]y2＝3x[解析]设抛物线准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，FQ⊥l，垂足分别为A1、B1、Q，作BM⊥AA1垂足为M，BM交FQ于N，则由条件易知∠ABM＝30°，设|BF|＝t，则|NF|＝t2，|MA|＝t＋32，∵|AM|＝|QN|，∴3－t＋32＝p－t2，∴p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x.(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．[答案]y2＝3x[解析]解法1：过A、B作准线垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3，∴p＝12|CF|＝32，∴抛物线方程为y2＝3x.解法2：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCB1＝30°，又|AF|＝3，从而Ap2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝32.点评：还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得A点的横坐标为|OF|＋12|AF|＝p2＋32或3－p2，∴p2＋32＝3－p2，∴p＝32.13．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA||FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．[答案]3＋22[解析]分别由A和B向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，则由条件知，|AA1|＋|BB1|＝|AB|，|AA1|－|BB1|＝22|AB|，解得|AA1|＝2＋24|AB||BB1|＝2－24|AB|，∴|AA1||BB1|＝3＋22，即|FA||FB|＝3＋22.14．(文)若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.[答案]2[解析]设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则y12＝2px1y22＝2px2，两式相减得，y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝2，∵y1＋y2＝2，∴p＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.[答案]8[解析]过A、B、P作准线的垂线AA1、BB1与PP1，垂足A1、B1、P1，则|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|PP1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C1：x24＋y2b2＝1(0b2)的离心率等于32，抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点在椭圆C1的顶点上．(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．[解析](1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝4－b2，由离心率e＝ca＝4－b22＝32得，b2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵y＝14x2，∴y′＝12x，∴切线l1，l2的斜率分别为12x1，12x2，当l1⊥l2时，12x1·12x2＝－1，即x1·x2＝－4，由y＝＋x2＝4y得：x2－4kx－4k＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)0，解得k－1或k0.又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.∴直线l的方程为x－y＋1＝0.(理)在△ABC中，CA→⊥CB→，OA→＝(0，－2)，点M在y轴上且AM→＝12(AB→＋CD→)，点C在x轴上移动．(1)求B点的轨迹E的方程；(2)过点F0，－14的直线l交轨迹E于H、E两点，(H在F、G之间)，若FH→＝12HG→，求直线l的方程．[解析](1)设B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0，∵CA→⊥CB→，∴∠ACB＝π2，∴2x0·y0－x0＝－1，于是x02＝2y0①M在y轴上且AM→＝12(AB→＋AC→)，所以M是BC的中点，可得x0＋x2＝0y＋02＝y0，∴x0＝－x②y0＝y2③把②③代入①，得y＝x2(x≠0)，所以，点B的轨迹E的方程为y＝x2(x≠0)．(2)点F0，－14，设满足条件的直线l方程为：y＝kx－14，H(x1，y1)，G(x2，y2)，由y＝kx－14y＝x2消去y得，x2－kx＋14＝0.Δ＝k2－10⇒k21，∵FH→＝12HG→，即x1，y1＋14＝12(x2－x1，y2－y1)，∴x1＝12x2－12x1⇒3x1＝x2.∵x1＋x2＝k，x1x2＝14，∴k＝±233，故满足条件的直线有两条，方程为：8x＋43y＋3＝0和8x－43y－3＝0.16．(文)已知P(x，y)为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)