2012届高三数学一轮复习立体几何练习题1

第9章第1节一、选择题1．(文)已知一空间几何体的三视图如图所示，它的表面积是()A．4＋2B．2＋2C．3＋2D．3[答案]C[解析]由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形直角边长和棱柱的高都是1，故表面积S＝2×12×1×1＋2×(1×1)＋2×1＝3＋2.(理)下图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸(单位：cm)，可知几何体的表面积是()A．18＋3B．16＋23C．17＋23D．18＋23[答案]D[解析]由三视图可得，该几何是一个底面边长为2高为3的正三棱柱，其表面积S＝3×2×3＋2×34×22＝18＋23cm2.2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A.12＋22B．1＋22C．1＋2D．2＋2[答案]D[解析]设直观图为O′A′B′C′，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中OC⊥OA，且OC＝2，BC＝1，OA＝1＋2×22＝1＋2，故其面积为12×(1＋1＋2)×2＝2＋2.3．(文)一个封闭正方体各面分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现放成三种位置如图，则A、B、C对面字母分别为()A．D、E、FB．F、D、EC．E、F、DD．E、D、F[答案]B[解析]由图(1)可知，A、B、C是交于同一顶点的三个面，故由图(2)知，D的对面为B；由(3)知，A的对面为F，从而C的对边为E，∴选B.(理)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．0B．8C．奥D．运[答案]B[解析]折起后，0和运，0和奥分别相对、2和8相对，∵2在上面，∴8在下面，另外两个0，一个在左面，一个在后面，奥在右面，运在前面．4．(文)(2010·山东烟台)用一些棱长是1cm的小正方体码放成一个几何体，(1)为其俯视图，(2)为其正(主)视图，则这个几何体的体积最大是()A．6cm3B．7cm3C．8cm3D．9cm3[答案]B[解析]由俯视图可知，该几何体除左边一列外，其它各列只一行，结合正(主)视图知，前一行共5个，而左边一列后一行至多2个，故最多有7个小正方体构成．(理)(2010·合肥市)已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A．①②③⑤B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②③④[答案]D[解析]底下一层为正四棱柱，上面两层为圆柱时为①；底下为圆柱、上两层为正四棱柱时为②；最上一层为圆柱、下两层为正四棱柱时为③；底层为正四棱柱，中间为圆柱、上层为直三棱柱时为④，故选D.5．(2010·山东日照)如图所示，一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为()A．1B.16C.13D.12[答案]B[解析]几何图形的高是正(主)视图的高，底面积为俯视图的面积，由题知该几何体是一个三棱锥，底面是直角三角形，其两直角边长为1，故体积为V＝13Sh＝13×12×1×1×1＝16.故选B.6．(2010·福建厦门市)一个组合体的三视图如图，则其体积为()A．12πB．16πC．20πD．28π[答案]C[解析]由空间几何体的三视图可知，该几何体为圆锥和圆柱的组合体，所以其体积为V＝π·22×4＋13×π×22×3＝20π，故选C.7．(文)(2010·沈阳市)如图所示，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且体积为12.则该几何体的俯视图可以是()[答案]C[解析]由正(主)视图和侧(左)视图可知，此几何体为柱体，易知高h＝1，且体积V＝S×h＝12(S为底面积)，得S＝12，结合各选项知这个几何体的底面可以是边长为1的等腰直角三角形，故选C.(理)(2010·北京理，3)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()[答案]C[解析]由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左侧向右看时在观察者右侧，故俯视图为C.8．(2010·东营质检)三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，△ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为()A．7B．7.5C．8D．9[答案]C[解析]∵△ABC所在小圆面积为16π，∴小圆半径r＝O′A＝4，又球体积为500π3，∴4πR33＝500π3，∴球半径R＝5，∴OO′＝3，故三棱锥的高为PO′＝R±OO′＝8或2，故选C.二、填空题9．(文)(2010·山东聊城联考)一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图阴影所示．第六个正方形在编号1到5的位置，则所有可能位置的编号是______．[答案]②③[解析]将表面展开图还原为正方体知，②③正确．(理)(2010·浙江宁波十校)取棱长为a的正方体的一个顶点，过此顶点出发的三条棱的中点作截面，截去正方体的一个角，对正方体的所有顶点都如此操作，则所剩下的多面体：①有12个顶点②有24条棱③表面积3a2④体积56a3以上结论正确的有________(填上正确的序号)．[答案]①②④[解析]由操作方法可知，原正方体每条棱的中点都是剩下的几何体的顶点，且除此之外别无顶点，故有12个顶点；原正方体每个面上4条棱的中点顺次连接形成一个正方形，该正方形为剩下多面体的一个面，正方形的四条边为多面体的棱，故剩下的多面体有24条棱，截去的每个角体积为13×12×a2×a2×a2＝a348，∴余下多面体的体积为V＝a3－a348×8＝56a3.而余下多面体的表面积S＝6a2－3×12a×12a×12×8＋8×34×22a2＝(3＋3)a2，故填①②④.10．(文)(2010·青岛模拟)若正三棱锥的主视图与俯视图如图所示(单位：cm)，则它的左视图的面积为________cm2.[答案]34[解析]由该正三棱锥的主视图和俯视图可知，其左视图为一个三角形，它的底边长等于俯视图的高即32，高等于主视图的高即3，所以左视图的面积为S＝12×32×3＝34cm2.(理)一多面体的三视图如下图所示，则其体积为________．[答案]433[解析]由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，底面是边长为2的正方形ABCD，一个侧面是边长为2的正三角形PAB，该侧面与底面垂直，故其体积V＝13×2×2×3＝433.其直观图如图．11．(2010·南京市调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.[答案]13[解析]如图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，则最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝13.12．(2010·山东聊城、邹平模考)已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm3.[答案]32[解析]依据三视图知，该几何体的上、下底面均为矩形，上底面是边长为1的正方形，下底面是长为2，宽为1的矩形，左侧面是与底面垂直的正方形，其直观图如图所示，易知该几何体是四棱柱ABCD－A1B1C1D1，其体积V＝S梯形ABCD·AA1＝＋2×1＝32cm3.三、解答题13．(2010·茂名模考)如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，BC＝CD＝12AB＝2，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A－BCDG.(1)若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG；(2)求证：AG⊥平面BCDG；(3)VC－ABD的值．[解析](1)证明：依题意，折叠前后CD、BG位置关系不改变，∴CD∥BG.∵E、F分别为线段AC、BD的中点，∴在△ACD中，EF∥CD，∴EF∥BG.又EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，∴EF∥平面ABG.(2)证明：将△ADG沿GD折起后，AG、GD位置关系不改变，∴AG⊥GD，又平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG＝GD，AG⊂平面AGD，∴AG⊥平面BCDG.(3)解：由已知得BC＝CD＝AG＝2，又由(2)得AG⊥平面BCDG，即点A到平面BCDG的距离AG＝2，∴VC－ABD＝VA－BCD＝13S△BCD·AG＝13×12×2×2×2＝43.14．(文)(2010·深圳市调研)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1＝C1E＝BC＝12AB＝1.(1)求证：D1E∥平面ACB1；(2)求证：平面D1B1E⊥平面DCB1；(3)求四面体D1B1AC的体积．[解析](1)连接BC1，则AD1綊BC1綊B1E，∴四边形AB1ED1是平行四边形．∴D1E∥AB1.又AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，∴D1E∥平面ACB1.(2)由已知得B1C＝B1E＝2，CE＝2，则B1C2＋B1E2＝4＝CE2.则B1E⊥B1C，易知：CD⊥平面B1BCE，而B1E⊂平面B1BCE，则CD⊥B1E，∴B1E⊥平面DCB1，又B1E⊂平面D1B1E，∴平面D1B1E⊥平面DCB1.(3)由图易知四面体D1B1AC的体积V＝VABCD－A1B1C1D1－VA－A1B1D1－VB－ACB1－VC－B1C1D1－VD－ACD1＝2－13×2×12×4＝23.(理)(2010·青岛市质检)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.[解析](1)由题意可知，四棱锥B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，则四棱锥B－ACDE的体积为V＝13SACDE·AB＝13×＋2×2＝4.(2)连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝12CD，所以四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM，∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，所以，AN∥平面CME.(3)∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC，又在直三棱柱中可知，平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD，由(2)知，AN∥EM，∴EM⊥平面BCD，又EM⊂平面BDE，所以，平面BDE⊥平面BCD.