2012年理数高考试题答案及解析湖北高中数学练习试题

12012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程26130xx的一个根是A．32iB．32iC．23iD．23i考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根.难易度：★解析：根据复数求根公式：266134x322i，所以方程的一个根为32i答案为A.2．命题“0xRQð，30xQ”的否定是A．0xRQð，30xQB．0xRQð，30xQC．xRQð，3xQD．xRQð，3xQ考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.难易度：★解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选D3．已知二次函数()yfx的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为A．2π5B．43C．32D．π2考点分析：本题考察利用定积分求面积.难易度：★解析：根据图像可得：2()1yfxx，再由定积分的几何意义，可求得面积为12311114(1)()33Sxdxxx.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8π3B．3π俯视图侧视图2正视图第4题图424211yxO第3题图11112C．10π3D．6π考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.5．设aZ，且013a，若201251a能被13整除，则aA．0B．1C．11D．12考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：★解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012CCC,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a13,所以a=12选D.6．设,,,,,abcxyz是正数，且22210abc，22240xyz，20axbycz，则abcxyzA．14B．13C．12D．34考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：★★解析：由于222222)())((2czbyaxzyxcba等号成立当且仅当,tzcybxa则a=txb=tyc=tz，10)(2222zyxt所以由题知2/1t,又2/1,tzyxcbazyxcbazcybxa所以，答案选C.7．定义在(,0)(0,)上的函数()fx，如果对于任意给定的等比数列{}na，{()}nfa仍是等比数列，则称()fx为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)上的如下函数：①2()fxx；②()2xfx；③()||fxx；④()ln||fxx.3则其中是“保等比数列函数”的()fx的序号为A．①②B．③④C．①③D．②④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质，212nnnaaa，①122212222nnnnnnafaaaafaf；②12221222222naaaaannafafafnnnnn；③122122nnnnnnafaaaafaf；④122122lnlnlnnnnnnnafaaaafaf.选C8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A．21πB．112πC．2πD．1π考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：★解析：令1OA，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为1S，围成OC为2S，作对称轴OD，则过C点。2S即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，82212121212122S。在扇形OAD中21S为扇形面积减去三角形OAC面积和22S，1622811812221SS，4221SS，扇形OAB面积41S，选A.9．函数2()cosfxxx在区间[0,4]上的零点个数为A．4B．5C．6D．7考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.难易度：★解析：0)(xf，则0x或0cos2x，Zkkx,22，又4,0x，4,3,2,1,0k所以共有6个解.选C.10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV.人们还用过一第8题图4些类似的近似公式.根据π=3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A．3169dVB．32dVC．3300157dVD．32111dV考点分析：考察球的体积公式以及估算.难易度：★★解析：33466b69()d,,===3.37532b16616157611==3==3.14,==3.142857230021dVaVAaBD由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C中代入得中代入得，由于D中值最接近的真实值，故选择D。二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若()()abcabcab，则角C．考点分析：考察余弦定理的运用.难易度：★解析：222222a=-a-ab12cos=,2223abcbabcCCabab由（+b-c）(a+b-c)=ab,得到根据余弦定理故12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s.第12题图5考点分析：本题考查程序框图.难易度：★★解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3.第二圈循环:当n=2时，得s=4，a=5第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7此时n=3，不再循环，所以解s=9.13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()nnN位回文数有个．考点分析：本题考查排列、组合的应用.难易度：★★解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109种。答案：90（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为n109.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为n109.14．如图，双曲线22221(,0)xyabab的两顶点为1A，2A，虚轴两端点为1B，2B，两焦点为1F，2F.若以12AA为直径的圆内切于菱形1122FBFB，切点分别为,,,ABCD.则（Ⅰ）双曲线的离心率e；A1A2yB2B1AOBCDF1F2x6（Ⅱ）菱形1122FBFB的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12SS.考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.难易度：★★解析：（Ⅰ）由于以12AA为直径的圆内切于菱形1122FBFB，因此点O到直线22BF的距离为a，又由于虚轴两端点为1B，2B，因此2OB的长为b，那么在22OBF中，由三角形的面积公式知，222)(21||2121cbaFBabc，又由双曲线中存在关系222bac联立可得出222)1(ee，根据),1(e解出;215e（Ⅱ）设22OBF,很显然知道222AOBOAF,因此)2sin(222aS.在22OBF中求得,cos,sin2222cbccbb故222224cossin4cbbcaaS；菱形1122FBFB的面积bcS21，再根据第一问中求得的e值可以解出25221SS.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在O的弦AB上移动，4AB，连接OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为.考点分析：本题考察直线与圆的位置关系难易度：★解析：（由于,CDOD因此22ODOCCD,线段OC长为定值，即需求解线段OD长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D为AB的中点，点C与点B重合，因此2||21||ABCD.16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线π4与曲线21,(1)xtyt（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为.考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.难易度：★CBADO.第15题图7解析：π4在直角坐标系下的一般方程为)(Rxxy，将参数方程21,(1)xtyt（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(xxty表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y有0452xx，设BA、两点及其中点P的横坐标分别为0xxxBA、、，则有韦达定理2520BAxxx,又由于点P点在直线xy上，因此AB的中点)25,25(P.三、解答题17．（本小题满分12分）已知向量(cossin,sin)xxxa，(cossin,23cos)xxxb，设函数()fxab()xR的图象关于直线πx对称，其中，为常数，且1(,1)2.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）若()yfx的图象经过点π(,0)4，求函数()fx在区间3π[0,]5上的取值范围.考点分析：本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。难易度：★解析：（Ⅰ）因为22()sincos23sincosfxxxxxcos23sin2xxπ2sin(2)6x.由直线πx是()yfx图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16，所以ππ2ππ()62kkZ，即1()23kkZ．又1(,1)2，kZ，所以1k，故56.所以()fx的最小正周期是6π5.（Ⅱ）由()yfx的图象过点π(,0)4，得π()04f，即5πππ2sin()2sin26264，即2.故5π()2sin()236fxx，由3π05x，有π5π5π6366x，所以15πsin()1236x，得5π122sin()22236x，故函数()fx在3π[0,]5上的取值范围为[12,22].818．（本小题满分1