2012年理数高考试题答案及解析重庆高中数学练习试题

2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一.填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的()1.在等差数列}{na中，5,142aa,则}{na的前5项和5S=A.7B.15C.20D.25【解析】选B15242451,5551522aaaaaaS2.不等式0121xx的解集为【解析】选A(21)(1)01101210212xxxxxxA.1,21B.1,21C.,121.D.,121,3.对任意的实数k，直线y=kx+1与圆222yx的位置关系一定是A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【解析】选C直线1ykx过圆内内一定点(0,1)4.812xx的展开式中常数项为A.1635B.835C.435D.105【解析】选B1,2xx取得次数为1:1(4:4)，展开式中常数项为448135()28C5、设tan,tan是方程2320xx的两个根，则tan()的值为（A）-3（B）-1（C）1（D）3【解析】选Atantantantan3,tantan2,tan()31tantan6、设,xyR，向量4,2,,1,1,cybxa，且cbca//,，则_______ba（A）5（B）10（C）25（D）10【解析】选B2402,//(3,1)10242xxacbcabyy7、已知()fx是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“()fx为[0，1]上的增函数”是“()fx为[3，4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【解析】选D由()fx是定义在R上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以【3,4】上的减函数8、设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数(1)()yxfx的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f（B）函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f（C）函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f（D）函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f【解析】选D1x时，()012,()02fxxfxx1x时，()021,()02fxxfxx得：()022,()02fxxfxx或2x函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f9、设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（A）(0,2)（B）(0,3)（C）(1,2)（D）(1,3)【解析】选A取长2的棱的中点与长为a的端点,BC；则222ABACaBC10、设平面点集221(,)()()0,(,)(1)(1)1AxyyxyBxyxyx，则AB所表示的平面图形的面积为（A）34（B）35（C）47（D）2【解析】选D由对称性：221,,(1)(1)1yxyxyx围成的面积与221,,(1)(1)1yxyxyx围成的面积相等得：AB所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1yxxy围成的面积既2122R二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上11、若12ii=a+bi，其中,,abRi为虚数单位，则ab；【解析】____4ab(1)(2)131,34iiiabiabab12、21lim5nnnn。【解析】21lim_____5nnnn25221515/12limlimlim5555nnnnnnnnnnn13、设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且35cos,cos,3,513ABb则c【解析】14_____5c3556cos,cos,3sinsin()51365sin14sinsinsin5ABbCABbcbCcBCB14、过抛物线22yx的焦点F作直线交抛物线于,AB两点，若25,,12ABAFBF则AF=。【解析】5_____6AF设25,,125cos,cos(1)6AFmBFnAFxmnmpmnpnpm15、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.【解析】概率为3____5语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语文、数学、英语三门文化课相邻有3344AA种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223ACCAC种排法。故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为35三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）设13()ln1,22fxaxxx其中aR，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线垂直于y轴.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数()fx的极值.17、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望18、（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）设4cos()sincos(2)6fxxxx，其中.0（Ⅰ）求函数yfx的值域（Ⅱ）若fx在区间3,22上为增函数，求的最大值。19、（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面11AABB的距离;（Ⅱ）若11ABAC,求二面角11ACDC的平面角的余弦值。20、（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为21,FF，线段12,OFOF的中点分别为21,BB，且△21BAB是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B做直线l交椭圆于P，Q两点，使22QBPB，求直线l的方程21、（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分。）设数列na的前n项和nS满足121nnSaSa，其中20a。（I）求证：na是首项为1的等比数列；（II）若21a，求证：1()2nnnSaa，并给出等号成立的充要条件。2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理）试题答案(试题与答案全word版，全面校对)参考答案一、选择题12345678910BACBABDDAD二、填空题11、412、2513、14514、5615、35三、解答题：16：解：（1）因13ln122fxaxxx，故21322afxxx由于曲线yfx在点1,1f处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即10f，从而13022a，解得1a（2）由（1）知13ln1022fxxxxx，222113321222xxfxxxx2(31)(1)2xxfxx令0fx，解得1211,3xx（因213x不在定义域内，舍去），当0,1x时，0fx，故fx在0,1上为减函数；当1,x时，0fx，故fx在1,上为增函数；故fx在1x处取得极小值13f。17、解：设,kkAB分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则13kPA，12kPB，1,2,3k（1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，111211223PCPAPABAPABABA111211223PAPAPBPAPAPBPAPBPA221211211332332311113392727（2）的所有可能为：1,2,3由独立性知：111121213323PPAPAB2211211222112122323329PPABAPABAB2211222113329PPABAB综上知，有分布列123P232919从而，221131233999E（次）18、解：（1）314cossinsincos222fxxxxx22223sincos2sincossinxxxxx3sin21x因1sin21x，所以函数yfx的值域为13,13（2）因sinyx在每个闭区间2,222kkkZ上为增函数，故3sin21fxx0在每个闭区间,44kkkZ上为增函数。依题意知3,22,44kk对某个kZ成立，此时必有0k，于是32424，解得16，故的最大值为16。19、解：（1）由ACBC,D为AB的中点，得CDAB，又1CDAA，故11CDAABB面,所以点C到平面11AABB的距离为225CDBCBD(2)如图，取1D为11AB的中点，连结1DD,则111DDAACC∥∥,又由（1）知11CDAABB面，故1CDAD1CDDD，所以11ADD为所求的二面角11ACDC的平面角。因1AD为1AC在面11AABB上的射影，又已知11ABAC，由三垂线定理的逆定理得11ABAD，从而111,AABADA都与1BAB互余，因此111AABADA，所以111RtAADRtBAA，因此，1111AAABADAA,即21118AAADAB,得122AA。从而221123ADAAAD,所以，在11RtADD中，1111116cos3DDAAADDADAD20、解：设所求椭圆的标准方程为222210xyabab，右焦点为2,0Fc。因12ABB是直角三角形，又12ABAB,故12BAB为直角，因此2OAOB,得2cb。结合222cab得2224bab，故22225,4abcb，所以离心率255cea。在12RtABB中，12OABB，故122122122ABBcSBBOAOBOAbb由题设条件124ABBS，得24b，从而22520ab。因此所求椭圆的标准方程为：221204xy（2）由（1）知1(2,0),(2,0)BB，由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：2xmy，代入椭圆方程得2254160mymy，设1222,,,