2012高中数学222第2课时课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-第2章2.2.2第2课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2a2B．a－2或a2C．－2a2D．－1a1解析：由点A在椭圆内部得a24＋1221∴－2a2.故选A.答案：A2．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：直线y＝kx－k＋1恒过定点(1,1)．又∵129＋1241，∴点(1,1)在椭圆x29＋y24＝1内部．∴直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．故选B.答案：B3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．32B．26C．27D．42解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由b2x2＋a2y2－a2b2＝0，x＋3y＋4＝0，得(a2＋3b2)y2＋83b2y＋16b2－a2b2＝0，由题意得Δ＝(83b2)2－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0且a2－b2＝4，可得a2＝7，∴2a＝27.答案：C-2-4．过椭圆x225＋y29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为()A．5B．6C.9017D．7解析：椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，∴直线AB的方程为y＝x－4，由y＝x－4x225＋y29＝1得9x2＋25(x－4)2＝225，由弦长公式易求|AB|＝9017.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，∴lAB：y＝2x－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝2x－2，x25＋y24＝1，得3x2－5x＝0，∴x＝0或x＝53，∴A(0，－2)，B53，43，∴S△AOB＝12|OF|(|yB|＋|yA|)＝12×1×2＋43＝53.答案：536．若倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是-3-________________．解析：设中点坐标为(x，y)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，则x＝x1＋x22＝－45b，y＝b5，得x＋4y＝0.由Δ0得－5b5，故－455x455.答案：x＋4y＝0－455x455三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求PF1→·PF2→的最大值与最小值．解析：(1)x24＋y2＝1.(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－3，0)，F2(3，0)，则PF1→·PF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋(1－x24)－3＝34x2－2，∵x∈[－2,2]，∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，PF1→·PF2→有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1→·PF2→有最大值1.8．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果AF2→＝2F2B→，求椭圆C的方程．解析：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c＝23，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.-4-(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20，直线l的方程为y＝3(x－2)．联立y＝3x－x2a2＋y2b2＝1，得(3a2＋b2)y2＋43b2y－3b4＝0.解得y1＝－3b2＋2a3a2＋b2，y2＝－3b2－2a3a2＋b2.因为AF2→＝2F2B→，所以－y1＝2y2.即3b2＋2a3a2＋b2＝2·－3b2－2a3a2＋b2，得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝5.故椭圆C的方程为x29＋y25＝1.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．(1)求C1，C2的方程．(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.证明：MD⊥ME.解析：由题意知e＝ca＝32，从而a＝2b.又2b＝a，所以a＝2，b＝1.故C1，C2的方程分别为x24＋y2＝1，y＝x2－1.(2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.-5-由y＝kx，y＝x2－1，得x2－kx－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又点M的坐标为(0，－1)，所以kMA·kMB＝y1＋1x1·y2＋1x2＝kx1＋kx2＋x1x2＝k2x1x2＋kx1＋x2＋1x1x2＝－k2＋k2＋1－1＝－1.故MA⊥MB，即MD⊥ME.