2012高中数学231课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-第2章2.3.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.22，0B.52，0C.62，0D．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准形式x2－y212＝1，所以a2＝1，b2＝12，∴c＝a2＋b2＝62，∴右焦点坐标为62，0.故选C.答案：C2．在方程mx2－my2＝n中，若mn0，则方程表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线解析：方程可变为x2nm－y2nm＝1，又m·n0，∴又可变为y2－nm－x2－nm＝1.∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．答案：D3．设P为双曲线x2－y212＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．63B．12C．123D．24解析：由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，-2-又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝213.由余弦定理得cos∠F1PF2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形为直角三角形．∴S△PF1F2＝12×6×4＝12.答案：B4．已知双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2mB．4a＋2mC．a＋mD．2a＋4m解析：设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：∵x24－y212＝1，∴当x＝3时，y＝±15.又∵F2(4,0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝15，∴|MF2|＝1＋15＝4.故填4.答案：4-3-6．双曲线x216－y29＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为________．解析：双曲线的焦点为(5,0)和(－5,0)由||PF1|－|PF2||＝8.∴||PF1|－15|＝8，∴|PF1|＝23或|PF1|＝7.答案：7或23三、解答题(每小题10分，共20分)7．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)经过点A(42，3)，且a＝4；(2)经过点A2，233、B(3，－22)．解析：(1)若所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则将a＝4代入，得x216－y2b2＝1，又点A(42，3)在双曲线上，∴3216－9b2＝1.解得b2＝9，则x216－y29＝1，若所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．同上，解得b20，不合题意，∴双曲线的方程为x216－y29＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，∵点A2，233、B(3，－22)在双曲线上，∴4m＋43n＝1，9m＋8n＝1.解之得m＝13，n＝－14.∴所求双曲线的方程为x23－y24＝1.8．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．-4-解析：(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程变为y24－x2－4k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程变为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k1时，方程变为x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．尖子生题库☆☆☆9．(10分)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)满足如下条件：(1)ab＝3；(2)过右焦点F的直线l的斜率为212，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1，求双曲线的方程．解析：设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)，设直线l：y＝212(x－c)，令x＝0，得p0，－212c，则有PQ→＝2QF→，所以x，y＋212c＝2(c－x，－y)∴x＝2(c－x)且y＋212c＝－2y，解得：x＝23c，y＝－216c.即Q23c，－216c，且在双曲线上，-5-∴b223c2－a2－216c2＝a2b2，又∵a2＋b2＝c2，∴491＋b2a2－712a2b2＋1＝1，解得b2a2＝3，又由ab＝3，可得a2＝1，b2＝3.∴所求双曲线方程为x2－y23＝1.